第64章 頓悟
「走，邊走邊說。」
陳末走出教室後，周知開口說道，同時率先邁步往行政樓走去，他到現在都還沒有弄明白到底發生了什麼，有些好奇的問道，「這次省賽的題你都做完了嗎？」
「做完了。」
陳末點頭。
「你覺得題目難度怎麼樣？」
「挺難的！」
陳末如實回答。
周知卻不知道該說些什麼，既然挺難的，那你還提前交卷？
「如果消息沒錯的話，你這次應該拿了省一。」
時間緊迫，周知儘量挑重點說，「這次蓉城數學會的會長，還有兩個燕北大學數學系的教授過來找你，你到時候好好表現，說不定能有保送到燕北大學的希望。」
對於一中的學生來說，燕北大學就是只存在於傳說中的地方，他們就算是做夢也都沒有這種想法。
所以哪怕只有很小的可能，周知也希望陳末能夠抓住。
陳末點頭，卻沒有太過在意，他有信心，無論是走競賽還是通過高考，上燕北都不難。
……
「不錯，不錯，基礎還是很紮實的。」
會議室中，趙一鳴點頭。
白芷剛才講解了自己做第三題第一小問的思路，雖然第二問和第三問沒有做出來，但對於一個高中生來說，已經算是很不錯了。
這時，陳末和周知兩人走進會議室。
千呼萬喚始出來，
鄭明陽看向這個面龐稚嫩的小傢伙，卻從他臉上看到了一絲與年紀不符的沉穩。
「我是燕北大學數學系教授鄭明陽。」
鄭明陽起身，自我介紹到，「陳末同學，你在競賽中證明第三道大題的第三小問時，寫出的這個恆等式∑_k=1^{q}χ(k)e^{πik/q}=√q⋅ε(χ)，我對這個恆等式很感興趣，你能告訴我，你是怎麼想到的？它是否總是成立？」
說著鄭明陽已經來到會議室的白板旁，拿著馬克筆把恆等式寫了下來。
陳末看了看，有些不好意思地說：「鄭教授，其實我當時只是為了簡化計算，並沒有嚴格證明。」
鄭明陽有些失望，但他原本也沒指望陳末真的能給出證明，「所以你當時是怎麼想到這個恆等式的呢？」
「我在推導第三問的過程中，感覺常規的證法太過繁瑣，所以就想，有沒有一種更簡潔的證明方法，然後這個等式就出現在了我腦海中。」
陳末如實說道，當時他在【頭腦清晰】的加持下，那種狀態，即便是現在的他也無法復現。
「哦。」
鄭明陽並沒有懷疑，數學有時候的確是這樣，需要那一閃而逝的靈光。
但靈光註定只是靈光，沒辦法落地成為一個定理、公式。
任何一個定理、公式都需要嚴謹的證明。
可惜。
趙一鳴也有些失望，原本以為這一躺能有所收穫，沒想到竟然是這樣的結局。
不過他早就應該想到的，一個高中生，怎麼可能完成這種證明，完成這個連鑽研這個領域幾十年的老教授都解決不了的問道。
是他們一開始就太過異想天開了。
看到這裡，一中一眾領導終於有些回過味來，感情這兩位燕北大學教授不是過來談保送的，是過來問陳末問題的。
張虎轉頭看向周知，眼神中帶著詢問。
天可憐見，他也是理工科畢業的，但那個黑板上的公式，他是一點都看不懂。
周知也有些茫然，他大概能看懂陳末和鄭明陽在討論什麼。
可是，他不懂的是，一個燕北大學的教授，千里迢迢的跑過來，就是為了向一個高中生求教問題？
這合理嗎?
「但我感覺它應該成立，因為……嗯……我驗證了幾個小的情況。」
陳末看著白板上的等式，忽然開口說道。
不知道為什麼，他腦海中閃過第一次加入數競隊時最後那道大題，他當時也是有一些靈感，如果不是白芷詢問，他最後可能也不會寫出完整的解答過程，他最後或許都不會知道，那個方法是對的。
「所以，我或許可以嘗試著證明它！」
陳末忽然對這個恆等式生出了濃烈的興趣。
「驗證了哪幾個？」鄭明陽也在一旁追問。
陳末來到白板前，拿起馬克筆，在白板上寫寫畫畫起來，「比如q=4，取χ為模4的非主特徵χ(1)=1，χ(3)=−1，那麼左邊等於1⋅e^{πi/4}+(−1)⋅e^{3πi/4}=e^{πi/4}−e^{3πi/4}。
e^{πi/4}=√2/2+(i√2)/2，e^{3\pi i/4}=−√2/2+(i√2)/2，相減得√2，右邊√4=2，所以ε(χ)=√2/2，模長確實為1。」
「那q=5呢？」
鄭明陽點頭，這幾天他也在嘗試證明這個恆等式，自然進行過類似的驗證，知道陳末沒有算錯。
陳末皺起眉頭，想了想，「模5的非主特徵有四種，但如果是勒讓德符號χ(k)=(k/5)，那麼左邊是∑_k=1^{4}(k/5)e^{πik/5}，這個值我也算過，是√5，所以ε(χ)=1。」
鄭明陽皺眉：「所以你只驗證了二次特徵？其他特徵呢？比如模5的非二次特徵？」
陳末愣了一下，然後說：「啊，非二次特徵？我沒驗證過，但我感覺，這個恆等式可能只對實特徵成立，在考試的時候，我用的正好是實特徵的情況，因為莫比烏斯函數和歐拉函數的組合只會引出實特徵。」
鄭明陽卻眼前一亮：「繼續說。」
陳末繼續在白板上寫到，「我們重新審視這個恆等式，設χ是模q的實特徵，即χ(k)=±1，且χ(−1)=1或−1，那麼χ實際上是一個二次特徵，與某個二次域相關……」
「所以考慮高斯和……」
陳末不斷在白板上寫下一串串公式，仿佛這裡不是會議室，而是他的自習室，眼前的白板也不是白板，而是他的草稿紙。
他已經徹底沉浸在了這個證明之中。
白板有限，很快，就已經寫滿了陳末的公式，然後他拿起擦子，擦掉剛才寫下的公式，又開始寫下新的公式。
張虎正準備開口，卻被鄭明陽阻止，鄭明陽對張虎搖搖頭，示意他不要打擾陳末。
他知道此時陳末的狀態可遇不可求。
用中國的古話來說，可以稱之為頓悟！
陳末走出教室後，周知開口說道，同時率先邁步往行政樓走去，他到現在都還沒有弄明白到底發生了什麼，有些好奇的問道，「這次省賽的題你都做完了嗎？」
「做完了。」
陳末點頭。
「你覺得題目難度怎麼樣？」
「挺難的！」
陳末如實回答。
周知卻不知道該說些什麼，既然挺難的，那你還提前交卷？
「如果消息沒錯的話，你這次應該拿了省一。」
時間緊迫，周知儘量挑重點說，「這次蓉城數學會的會長，還有兩個燕北大學數學系的教授過來找你，你到時候好好表現，說不定能有保送到燕北大學的希望。」
對於一中的學生來說，燕北大學就是只存在於傳說中的地方，他們就算是做夢也都沒有這種想法。
所以哪怕只有很小的可能，周知也希望陳末能夠抓住。
陳末點頭，卻沒有太過在意，他有信心，無論是走競賽還是通過高考，上燕北都不難。
……
「不錯，不錯，基礎還是很紮實的。」
會議室中，趙一鳴點頭。
白芷剛才講解了自己做第三題第一小問的思路，雖然第二問和第三問沒有做出來，但對於一個高中生來說，已經算是很不錯了。
這時，陳末和周知兩人走進會議室。
千呼萬喚始出來，
鄭明陽看向這個面龐稚嫩的小傢伙，卻從他臉上看到了一絲與年紀不符的沉穩。
「我是燕北大學數學系教授鄭明陽。」
鄭明陽起身，自我介紹到，「陳末同學，你在競賽中證明第三道大題的第三小問時，寫出的這個恆等式∑_k=1^{q}χ(k)e^{πik/q}=√q⋅ε(χ)，我對這個恆等式很感興趣，你能告訴我，你是怎麼想到的？它是否總是成立？」
說著鄭明陽已經來到會議室的白板旁，拿著馬克筆把恆等式寫了下來。
陳末看了看，有些不好意思地說：「鄭教授，其實我當時只是為了簡化計算，並沒有嚴格證明。」
鄭明陽有些失望，但他原本也沒指望陳末真的能給出證明，「所以你當時是怎麼想到這個恆等式的呢？」
「我在推導第三問的過程中，感覺常規的證法太過繁瑣，所以就想，有沒有一種更簡潔的證明方法，然後這個等式就出現在了我腦海中。」
陳末如實說道，當時他在【頭腦清晰】的加持下，那種狀態，即便是現在的他也無法復現。
「哦。」
鄭明陽並沒有懷疑，數學有時候的確是這樣，需要那一閃而逝的靈光。
但靈光註定只是靈光，沒辦法落地成為一個定理、公式。
任何一個定理、公式都需要嚴謹的證明。
可惜。
趙一鳴也有些失望，原本以為這一躺能有所收穫，沒想到竟然是這樣的結局。
不過他早就應該想到的，一個高中生，怎麼可能完成這種證明，完成這個連鑽研這個領域幾十年的老教授都解決不了的問道。
是他們一開始就太過異想天開了。
看到這裡，一中一眾領導終於有些回過味來，感情這兩位燕北大學教授不是過來談保送的，是過來問陳末問題的。
張虎轉頭看向周知，眼神中帶著詢問。
天可憐見，他也是理工科畢業的，但那個黑板上的公式，他是一點都看不懂。
周知也有些茫然，他大概能看懂陳末和鄭明陽在討論什麼。
可是，他不懂的是，一個燕北大學的教授，千里迢迢的跑過來，就是為了向一個高中生求教問題？
這合理嗎?
「但我感覺它應該成立，因為……嗯……我驗證了幾個小的情況。」
陳末看著白板上的等式，忽然開口說道。
不知道為什麼，他腦海中閃過第一次加入數競隊時最後那道大題，他當時也是有一些靈感，如果不是白芷詢問，他最後可能也不會寫出完整的解答過程，他最後或許都不會知道，那個方法是對的。
「所以，我或許可以嘗試著證明它！」
陳末忽然對這個恆等式生出了濃烈的興趣。
「驗證了哪幾個？」鄭明陽也在一旁追問。
陳末來到白板前，拿起馬克筆，在白板上寫寫畫畫起來，「比如q=4，取χ為模4的非主特徵χ(1)=1，χ(3)=−1，那麼左邊等於1⋅e^{πi/4}+(−1)⋅e^{3πi/4}=e^{πi/4}−e^{3πi/4}。
e^{πi/4}=√2/2+(i√2)/2，e^{3\pi i/4}=−√2/2+(i√2)/2，相減得√2，右邊√4=2，所以ε(χ)=√2/2，模長確實為1。」
「那q=5呢？」
鄭明陽點頭，這幾天他也在嘗試證明這個恆等式，自然進行過類似的驗證，知道陳末沒有算錯。
陳末皺起眉頭，想了想，「模5的非主特徵有四種，但如果是勒讓德符號χ(k)=(k/5)，那麼左邊是∑_k=1^{4}(k/5)e^{πik/5}，這個值我也算過，是√5，所以ε(χ)=1。」
鄭明陽皺眉：「所以你只驗證了二次特徵？其他特徵呢？比如模5的非二次特徵？」
陳末愣了一下，然後說：「啊，非二次特徵？我沒驗證過，但我感覺，這個恆等式可能只對實特徵成立，在考試的時候，我用的正好是實特徵的情況，因為莫比烏斯函數和歐拉函數的組合只會引出實特徵。」
鄭明陽卻眼前一亮：「繼續說。」
陳末繼續在白板上寫到，「我們重新審視這個恆等式，設χ是模q的實特徵，即χ(k)=±1，且χ(−1)=1或−1，那麼χ實際上是一個二次特徵，與某個二次域相關……」
「所以考慮高斯和……」
陳末不斷在白板上寫下一串串公式，仿佛這裡不是會議室，而是他的自習室，眼前的白板也不是白板，而是他的草稿紙。
他已經徹底沉浸在了這個證明之中。
白板有限，很快，就已經寫滿了陳末的公式，然後他拿起擦子，擦掉剛才寫下的公式，又開始寫下新的公式。
張虎正準備開口，卻被鄭明陽阻止，鄭明陽對張虎搖搖頭，示意他不要打擾陳末。
他知道此時陳末的狀態可遇不可求。
用中國的古話來說，可以稱之為頓悟！