第4章 故事的開頭總是極具溫柔
風將雨水一陣陣摔在玻璃上，瀑布似的往下淌。窗外的桂花樹猛地搖晃著躲避，卻還是免不了枝折葉落。閃電時而出現，衝散整片天空的墨色，一切仿佛世界末日將至。
安奕一直很喜歡這樣的天氣，每當遇見時他總有種心頭鬱氣被狂風吹散的感覺，格外暢快，幾乎想要放聲大喊些什麼。
不過他從不是敢於出風頭的人，於是往往選擇沉默地望著窗外出神，暢想些真要是末日來臨，大家驚慌失措一片時，自己站出來拯救世界的畫面。
在這些畫面里他的外掛隨著年齡段從神光棒變到帝皇鎧甲再到鋼鐵俠的戰衣，根本不帶重樣的。
唯一相同的，是每次拯救世界之後，他一句話都不說就瀟灑離去的背影……超拽！
但這一次他完全沒在意窗外的風景，也沒去暢想什麼畫面，而是選擇全身心投入到跟大哥學習如何操作那台CASIO圖形計算器上。
「就這樣，把你要畫的函數都輸入之後，按F6。」
夏晴輸入函數Y₁=-x²；Y₂=-x²-1，按下F6鍵之後圖像生成，兩個二次函數出現在屏幕上，一藍一紅。
「你試試對這兩個函數進行調整，讓它們相交，畫出一條眉毛……等等，用下你的筆和草稿紙。」
「大哥，筆墨。」
安奕畢恭畢敬地呈上筆袋裡那支只有考試才用的水性筆，這可是讓學霸開光附魔的好機會，不能錯過。
「紙張稍待！」
一邊說著，他一邊從書牆裡抽出個藍色塑料外殼的文件夾，打開，然後從透明塑料內頁里請出張空白的數學答題卡。
「哎呀？」
夏晴眼睛一亮，「九九成，稀罕物！」
「應該的。」安奕鄭重點頭。
對絕大部分的高中生來說，萬物皆可打草稿絕不是一句誇張的修辭。什麼試卷空隙，課本扉頁，每日一練的隨堂小測背面，手掌大小的便利貼，乃至情況緊急時的抽紙、捲筒紙甚至手心手背……
也正是在這一前提下，那些完全空白的草稿紙，全都屬於絕對的戰略級資源！
戰略級資源也是分品質的，具體劃分主要看紙張質量和書寫手感。像那種考試時下發的專用草稿紙太薄，給個NPC大差不差；A4列印紙就很好了，可以給到夯；而空白答題卡，則因為其厚度、大小，書寫手感與稀缺性，毫無疑問位列永遠的神。
其中，數學答題卡因版面留白最多，可利用空間率最高，又被稱為神中之神！
戰略級資源的意義，就是日常存儲起來不使用，直至「戰時」。比如一道需要用到大面積草稿的難題；比如一個需要你來我往廝殺鏖戰不知多少局五子棋的晚自習；比如……現在。
安奕是有那麼點小巧思在的，一方面是大哥都傳授自己「焚訣」了，怎能不奉上最好的待遇？另一方面，答題卡的手感真的很好，萬一大哥寫著寫著手感來了，順便多教一點呢？
夏晴接過那張數學答題卡，先是撫摸一遍感受材質，然後才落筆。兩道墨跡平穩順滑地在紙上交匯，勾勒出一條小彎眉。（如圖↓）
「畫成這樣就行。」
她頓了頓，也不知是經受不住此等貢品的誘惑，還是早就有此打算，「我給你再多畫幾個圖案，你照著來？這樣學習效率更高些。」
「好啊好啊……」
安奕答應著，注意力很快挪到琢磨該怎樣對那兩個二次函數「添油加醋」的事上。
他沒直接在夏晴遞過來的圖形計算器上進行嘗試，而是先拿常用筆在自己那張乍一看已用得差不多的草稿紙上尋了個空隙，粗略畫下前後對比圖。
這樣的變換並不難，哪怕安奕在函數圖像性質方面的基礎不牢固，也很容易就有了清晰的思路。
但他並未因此就產生什麼輕視的情緒。
這些年來，他已經很多次親身體驗，以至領會過一個道理——
故事的開頭總是極具溫柔。
剛開始學數物生的時候他也覺得蠻簡單的，於是順理成章地放鬆警惕走神分心，後來發生的事，看他現在的成績就知道了！
至於化學？對安奕而言，化學一開始就不太溫柔。
「先改變a的值，來改變開口大小，製造不同的開口使兩個二次函數在小範圍內相交。再調整對稱軸，函數平移規律，左加右減上加下減。步驟大體就是這樣，最後是根據圖像調整細節數值……」
弄清楚該做什麼變換之後，安奕才在圖形計算器上做嘗試。這個過程中他被大幅提升過的計算能力基本可以說是毫無用武之地，因為函數平移時他是直接以二次函數頂點式表達的，即y=a（x-h）²+k，這樣調整起來更為直觀方便。
幾次調整過後他得到了新的函數表達式：
Y₁=-0.15x²；Y₂=-0.08（x+0.4）²-0.6
看上去與大哥畫的圖案相差無幾。（如圖↓）
接下來就是算出兩個二次函數的交點AB，也就是眉頭眉尾的坐標，再給定義域賦值以截取需要的範圍，便可宣告成功。
但安奕看著圖像，仍覺不滿足。
夏晴說這是「比較簡單的版本」，那比較麻煩的版本，區別會在哪？
以往安奕絕不是喜歡給自己找麻煩的人，尤其是在學習上，得過且過才是他一貫的準則。
但現在的情況略有不同。
人閒著沒事時不會往雜草地里趟，因為被草割到會癢被蟲咬了會痛，可若是手裡有了根筆直堅硬的棍子，便會下意識往那去，掄起棍來。
少年手持硬直棍，十里蓬草盡折腰！
首先他確定了要修改的地方，兩個函數組合後的圖像看上去已有大半部分像是一條真正的小彎眉了，問題就在那一小部分——
圖像右側的眉頭部分應當是圓弧才對，而非比左側眉尾還要尖銳。且二者應該差不多齊平，而不是一高一低。
「圓弧，那就用圓的標準方程來表示？這個圓需要滿足的條件，就是與兩個二次函數相切，與兩個二次函數相交的另一端點B差不多高……之後再根據交點取定義域，就得到了圓弧。」
安奕想著，手裡的筆無意識地越轉越快，直至猛地頓住。
詳細步驟思路他已清楚，接下來的就是演算了。
圓的標準方程為(x-a)²+(y-b)²=r²，他在草稿紙上比劃了下，決定將a的值設為2，這樣一來就得到方程(x-2)²+(y-b)²=r²，然後用這個方程與二次函數聯立求解。
列方程組很簡單，圓方程與二次函數相切等價於兩個條件同時成立，即有公共點、在公共點處的導數相等，也就是切線斜率相同。
基於這兩個數學條件，設圓與Y1=-0.15x²的切點為(x₁，y₁)，其中圓在該點的斜率用隱函數求導，即：
2(x−2)+2(y−b)y′=0→y′=-（x-2）/（y-b）
斜率相等得到-0.3x₁=-（x₁-2）/（y₁-b）
得方程組：y₁=-0.15x₁²；(x₁−2)²+(y₁−b)²=r²；-0.3x₁=-（x₁-2）/（y₁-b）
同理可得圓與Y₂=-0.08（x₂+0.4）²-0.6的方程組為：
y₂=-0.08（x₂+0.4）²-0.6；(x₂−2)²+(y₂−b)²=r²；−0.16(x₂+0.4)=-（x₂-2）/（y₂-b）
將這六個等式結合起來就是聯立方程組，一共6個未知數，6個方程。
如果是以前，安奕就只能止步於此了，他能夠將這個聯立方程組列出來，但是並沒有將其解出的能力。
可現在……
「蓬草」近在眼前，棍子就在手裡，此時不掃，更待何時！
【計算能力】可不僅僅只有單純的數值運算，代數運算也是包含在內的！
安奕落筆，數字與符號無需思考地在紙上呈現，速度快到像是在抄寫而非演算。
他構思的步驟很簡單。
第一步，將y₁=-0.15x₁²與y₂=-0.08（x₂+0.4）²-0.6分別代入-0.3x₁=-（x₁-2）/（y₁-b）和−0.16(x₂+0.4)=-（x₂-2）/（y₂-b），將x₁與x₂基於b的表達式解出。
第二步，將y₁y₂代入(x₁−2)²+(y₁−b)²=r²=(x₂−2)²+(y₂−b)²，再將x₁與x₂基於b的表達式代入，從而得到一個只有b的等式。
第三步，解出等式，得到b的值，之後r也就迎刃而解……
就在安奕將步驟確定後，半透明的光幕出現——
【你想要和數學玩解繩結，這是你們認識四年之後開始，時不時一起玩，一直維持到現在的一種遊戲】
【你們將這種遊戲演變出了很多種形式，有許多繩結能以各種不同的方法完美解開……數學一直對此很感興趣】
解「繩結」，就是解方程？
這一對應實在不難猜到，畢竟時間點都給出來了，小學四年級正好學到方程嘛！
但下面的是什麼鬼？！
安奕視線下移，心裡一個咯噔。
【你覺得想這個繩結解開很簡單，雖然數學察覺到了不對，但鑑於你之前的行為讓她那麼生氣，採取一點小小的報復似乎也很正常。她並不準備將這點說出來，而是不置可否地讓你試試，想要看你笑話】
什麼叫「數學察覺到了不對」？
一時間安奕有種相當不好的預感，這一刻他清楚地意識到，面前這堆自己拿來試棍的「蓬草」，可能是鋼筋偽裝的。
但與此同時他也很清楚，現在別說是鋼筋了，哪怕是換成核反應堆的鈾棒，自己也得硬著頭皮拿棍子往上掃啊！
畢竟數學都已經準備好「看笑話」了。
看笑話這種行為，性質是看場合的。如果是大庭廣眾，眾目睽睽之下，那就屬於是惡劣的嘲笑行為，可以說相當傷人心。但如果僅僅限制於兩人之間，還是吵架之後初步和好期的「小報復」……
這就是能增進關係的親密小互動啊！
如果不是場景不太合適，想到這安奕幾乎要幸福地扭動起來。至於究竟是像小狗搖尾巴還是在床上像蛆一樣扭動都不重要……畢竟，她那麼美，對吧？
總之，安奕的棍子，還是對著眼前這堆看似「蓬草」實則鋼筋或者鈾棒之類的東西落下去了。
在第一步末尾時，他便看出了哪裡不對勁。
因為他面對的是一個二元三次方程。
這種情況下，該怎麼解出x₁與x₂基於b的表達式？
但他並未就此停止，而是選擇直接將代數計算交給「本能」。也就是如先前第一次測試計算能力那樣，輸入方程、想要的答案，然後得到結果。
下一刻，數值的美展現得淋漓盡致。
一個複雜無比的立方根代數式出現在他的腦海中！
安奕愣了愣，反應過來後又喜又驚。
喜自然是因為他發覺自己提升過後的數值真的很高，可以力大磚飛。
至於驚……他已經大概知道這窩「蓬草」後面到底有多硬了。
他並未將那個x₁與x₂基於b的立方根代數表達式寫下，而是選擇先在草稿紙上繼續下一步。
果不其然，第二步勉強完成後，在第三步，安奕徹底卡住了。
這一次，哪怕是他選擇將代數運算交給「本能」也毫無用處。並沒有一個最終的答案出現，隱約之間他還覺得自己的腦子有些發熱……
「這就是現階段我的數值極限了嗎？」
安奕想著，筆尖頓住，果斷地選擇了放棄。
但與此同時也有一個疑惑在他心中冒出——
為什麼會解不出來？
有些時候有些事就是這麼巧合，正當他處於疑惑，一旁恰好傳來句輕飄飄的話。
「到這就可以了。」
從安奕開始自己給自己上難度時就注意到，一邊畫圖一邊默默觀察著的夏晴微微搖頭。
「這個方程不存在根式解。」
「啊？」
安奕一愣，「沒有解？不可能吧？」
「不是沒有解，而是不存在『根式解』。」
夏晴用筆在草稿紙上寫下「根式解」三個字。
「你可以理解為，只要一個解能用有限次的加減乘除和帶根號的式子寫出來，就是根式解。
根式解是精確的，但這個方程不存在根式解，只能用數值法得到近似解，所以你用代數運算到這裡就該停下了，因為再用這個方法繼續下去，哪怕是台超級計算機，也算不出來。」
安奕一直很喜歡這樣的天氣，每當遇見時他總有種心頭鬱氣被狂風吹散的感覺，格外暢快，幾乎想要放聲大喊些什麼。
不過他從不是敢於出風頭的人，於是往往選擇沉默地望著窗外出神，暢想些真要是末日來臨，大家驚慌失措一片時，自己站出來拯救世界的畫面。
在這些畫面里他的外掛隨著年齡段從神光棒變到帝皇鎧甲再到鋼鐵俠的戰衣，根本不帶重樣的。
唯一相同的，是每次拯救世界之後，他一句話都不說就瀟灑離去的背影……超拽！
但這一次他完全沒在意窗外的風景，也沒去暢想什麼畫面，而是選擇全身心投入到跟大哥學習如何操作那台CASIO圖形計算器上。
「就這樣，把你要畫的函數都輸入之後，按F6。」
夏晴輸入函數Y₁=-x²；Y₂=-x²-1，按下F6鍵之後圖像生成，兩個二次函數出現在屏幕上，一藍一紅。
「你試試對這兩個函數進行調整，讓它們相交，畫出一條眉毛……等等，用下你的筆和草稿紙。」
「大哥，筆墨。」
安奕畢恭畢敬地呈上筆袋裡那支只有考試才用的水性筆，這可是讓學霸開光附魔的好機會，不能錯過。
「紙張稍待！」
一邊說著，他一邊從書牆裡抽出個藍色塑料外殼的文件夾，打開，然後從透明塑料內頁里請出張空白的數學答題卡。
「哎呀？」
夏晴眼睛一亮，「九九成，稀罕物！」
「應該的。」安奕鄭重點頭。
對絕大部分的高中生來說，萬物皆可打草稿絕不是一句誇張的修辭。什麼試卷空隙，課本扉頁，每日一練的隨堂小測背面，手掌大小的便利貼，乃至情況緊急時的抽紙、捲筒紙甚至手心手背……
也正是在這一前提下，那些完全空白的草稿紙，全都屬於絕對的戰略級資源！
戰略級資源也是分品質的，具體劃分主要看紙張質量和書寫手感。像那種考試時下發的專用草稿紙太薄，給個NPC大差不差；A4列印紙就很好了，可以給到夯；而空白答題卡，則因為其厚度、大小，書寫手感與稀缺性，毫無疑問位列永遠的神。
其中，數學答題卡因版面留白最多，可利用空間率最高，又被稱為神中之神！
戰略級資源的意義，就是日常存儲起來不使用，直至「戰時」。比如一道需要用到大面積草稿的難題；比如一個需要你來我往廝殺鏖戰不知多少局五子棋的晚自習；比如……現在。
安奕是有那麼點小巧思在的，一方面是大哥都傳授自己「焚訣」了，怎能不奉上最好的待遇？另一方面，答題卡的手感真的很好，萬一大哥寫著寫著手感來了，順便多教一點呢？
夏晴接過那張數學答題卡，先是撫摸一遍感受材質，然後才落筆。兩道墨跡平穩順滑地在紙上交匯，勾勒出一條小彎眉。（如圖↓）
「畫成這樣就行。」
她頓了頓，也不知是經受不住此等貢品的誘惑，還是早就有此打算，「我給你再多畫幾個圖案，你照著來？這樣學習效率更高些。」
「好啊好啊……」
安奕答應著，注意力很快挪到琢磨該怎樣對那兩個二次函數「添油加醋」的事上。
他沒直接在夏晴遞過來的圖形計算器上進行嘗試，而是先拿常用筆在自己那張乍一看已用得差不多的草稿紙上尋了個空隙，粗略畫下前後對比圖。
這樣的變換並不難，哪怕安奕在函數圖像性質方面的基礎不牢固，也很容易就有了清晰的思路。
但他並未因此就產生什麼輕視的情緒。
這些年來，他已經很多次親身體驗，以至領會過一個道理——
故事的開頭總是極具溫柔。
剛開始學數物生的時候他也覺得蠻簡單的，於是順理成章地放鬆警惕走神分心，後來發生的事，看他現在的成績就知道了！
至於化學？對安奕而言，化學一開始就不太溫柔。
「先改變a的值，來改變開口大小，製造不同的開口使兩個二次函數在小範圍內相交。再調整對稱軸，函數平移規律，左加右減上加下減。步驟大體就是這樣，最後是根據圖像調整細節數值……」
弄清楚該做什麼變換之後，安奕才在圖形計算器上做嘗試。這個過程中他被大幅提升過的計算能力基本可以說是毫無用武之地，因為函數平移時他是直接以二次函數頂點式表達的，即y=a（x-h）²+k，這樣調整起來更為直觀方便。
幾次調整過後他得到了新的函數表達式：
Y₁=-0.15x²；Y₂=-0.08（x+0.4）²-0.6
看上去與大哥畫的圖案相差無幾。（如圖↓）
接下來就是算出兩個二次函數的交點AB，也就是眉頭眉尾的坐標，再給定義域賦值以截取需要的範圍，便可宣告成功。
但安奕看著圖像，仍覺不滿足。
夏晴說這是「比較簡單的版本」，那比較麻煩的版本，區別會在哪？
以往安奕絕不是喜歡給自己找麻煩的人，尤其是在學習上，得過且過才是他一貫的準則。
但現在的情況略有不同。
人閒著沒事時不會往雜草地里趟，因為被草割到會癢被蟲咬了會痛，可若是手裡有了根筆直堅硬的棍子，便會下意識往那去，掄起棍來。
少年手持硬直棍，十里蓬草盡折腰！
首先他確定了要修改的地方，兩個函數組合後的圖像看上去已有大半部分像是一條真正的小彎眉了，問題就在那一小部分——
圖像右側的眉頭部分應當是圓弧才對，而非比左側眉尾還要尖銳。且二者應該差不多齊平，而不是一高一低。
「圓弧，那就用圓的標準方程來表示？這個圓需要滿足的條件，就是與兩個二次函數相切，與兩個二次函數相交的另一端點B差不多高……之後再根據交點取定義域，就得到了圓弧。」
安奕想著，手裡的筆無意識地越轉越快，直至猛地頓住。
詳細步驟思路他已清楚，接下來的就是演算了。
圓的標準方程為(x-a)²+(y-b)²=r²，他在草稿紙上比劃了下，決定將a的值設為2，這樣一來就得到方程(x-2)²+(y-b)²=r²，然後用這個方程與二次函數聯立求解。
列方程組很簡單，圓方程與二次函數相切等價於兩個條件同時成立，即有公共點、在公共點處的導數相等，也就是切線斜率相同。
基於這兩個數學條件，設圓與Y1=-0.15x²的切點為(x₁，y₁)，其中圓在該點的斜率用隱函數求導，即：
2(x−2)+2(y−b)y′=0→y′=-（x-2）/（y-b）
斜率相等得到-0.3x₁=-（x₁-2）/（y₁-b）
得方程組：y₁=-0.15x₁²；(x₁−2)²+(y₁−b)²=r²；-0.3x₁=-（x₁-2）/（y₁-b）
同理可得圓與Y₂=-0.08（x₂+0.4）²-0.6的方程組為：
y₂=-0.08（x₂+0.4）²-0.6；(x₂−2)²+(y₂−b)²=r²；−0.16(x₂+0.4)=-（x₂-2）/（y₂-b）
將這六個等式結合起來就是聯立方程組，一共6個未知數，6個方程。
如果是以前，安奕就只能止步於此了，他能夠將這個聯立方程組列出來，但是並沒有將其解出的能力。
可現在……
「蓬草」近在眼前，棍子就在手裡，此時不掃，更待何時！
【計算能力】可不僅僅只有單純的數值運算，代數運算也是包含在內的！
安奕落筆，數字與符號無需思考地在紙上呈現，速度快到像是在抄寫而非演算。
他構思的步驟很簡單。
第一步，將y₁=-0.15x₁²與y₂=-0.08（x₂+0.4）²-0.6分別代入-0.3x₁=-（x₁-2）/（y₁-b）和−0.16(x₂+0.4)=-（x₂-2）/（y₂-b），將x₁與x₂基於b的表達式解出。
第二步，將y₁y₂代入(x₁−2)²+(y₁−b)²=r²=(x₂−2)²+(y₂−b)²，再將x₁與x₂基於b的表達式代入，從而得到一個只有b的等式。
第三步，解出等式，得到b的值，之後r也就迎刃而解……
就在安奕將步驟確定後，半透明的光幕出現——
【你想要和數學玩解繩結，這是你們認識四年之後開始，時不時一起玩，一直維持到現在的一種遊戲】
【你們將這種遊戲演變出了很多種形式，有許多繩結能以各種不同的方法完美解開……數學一直對此很感興趣】
解「繩結」，就是解方程？
這一對應實在不難猜到，畢竟時間點都給出來了，小學四年級正好學到方程嘛！
但下面的是什麼鬼？！
安奕視線下移，心裡一個咯噔。
【你覺得想這個繩結解開很簡單，雖然數學察覺到了不對，但鑑於你之前的行為讓她那麼生氣，採取一點小小的報復似乎也很正常。她並不準備將這點說出來，而是不置可否地讓你試試，想要看你笑話】
什麼叫「數學察覺到了不對」？
一時間安奕有種相當不好的預感，這一刻他清楚地意識到，面前這堆自己拿來試棍的「蓬草」，可能是鋼筋偽裝的。
但與此同時他也很清楚，現在別說是鋼筋了，哪怕是換成核反應堆的鈾棒，自己也得硬著頭皮拿棍子往上掃啊！
畢竟數學都已經準備好「看笑話」了。
看笑話這種行為，性質是看場合的。如果是大庭廣眾，眾目睽睽之下，那就屬於是惡劣的嘲笑行為，可以說相當傷人心。但如果僅僅限制於兩人之間，還是吵架之後初步和好期的「小報復」……
這就是能增進關係的親密小互動啊！
如果不是場景不太合適，想到這安奕幾乎要幸福地扭動起來。至於究竟是像小狗搖尾巴還是在床上像蛆一樣扭動都不重要……畢竟，她那麼美，對吧？
總之，安奕的棍子，還是對著眼前這堆看似「蓬草」實則鋼筋或者鈾棒之類的東西落下去了。
在第一步末尾時，他便看出了哪裡不對勁。
因為他面對的是一個二元三次方程。
這種情況下，該怎麼解出x₁與x₂基於b的表達式？
但他並未就此停止，而是選擇直接將代數計算交給「本能」。也就是如先前第一次測試計算能力那樣，輸入方程、想要的答案，然後得到結果。
下一刻，數值的美展現得淋漓盡致。
一個複雜無比的立方根代數式出現在他的腦海中！
安奕愣了愣，反應過來後又喜又驚。
喜自然是因為他發覺自己提升過後的數值真的很高，可以力大磚飛。
至於驚……他已經大概知道這窩「蓬草」後面到底有多硬了。
他並未將那個x₁與x₂基於b的立方根代數表達式寫下，而是選擇先在草稿紙上繼續下一步。
果不其然，第二步勉強完成後，在第三步，安奕徹底卡住了。
這一次，哪怕是他選擇將代數運算交給「本能」也毫無用處。並沒有一個最終的答案出現，隱約之間他還覺得自己的腦子有些發熱……
「這就是現階段我的數值極限了嗎？」
安奕想著，筆尖頓住，果斷地選擇了放棄。
但與此同時也有一個疑惑在他心中冒出——
為什麼會解不出來？
有些時候有些事就是這麼巧合，正當他處於疑惑，一旁恰好傳來句輕飄飄的話。
「到這就可以了。」
從安奕開始自己給自己上難度時就注意到，一邊畫圖一邊默默觀察著的夏晴微微搖頭。
「這個方程不存在根式解。」
「啊？」
安奕一愣，「沒有解？不可能吧？」
「不是沒有解，而是不存在『根式解』。」
夏晴用筆在草稿紙上寫下「根式解」三個字。
「你可以理解為，只要一個解能用有限次的加減乘除和帶根號的式子寫出來，就是根式解。
根式解是精確的，但這個方程不存在根式解，只能用數值法得到近似解，所以你用代數運算到這裡就該停下了，因為再用這個方法繼續下去，哪怕是台超級計算機，也算不出來。」