第25章 去晚了要扣錢的（求追讀求月票）
「瑞安，這道遞推數列題你做出來了麼？感覺好複雜。」
「做了，這題算特徵根就行。」
「這樣啊，那我去試試，會不會計算量太大了。」
「硬算唄，不然推不出通項，這題中間那幾步真的噁心，太容易算錯，不過難倒是不難。」
……
惠特尼·楊高中的一間教室里，距離workshop開始還有些時間。
大半的學生已經提前到了，正三三兩兩地聚在一塊兒，對著提前發下的預習講義核對思路。
李傲剛走到門外，聽見這幾句抱怨，立刻就跟講義上的題目對上了號。
他們討論的，正是布朗那份講義里的最後一道大題。
今早在家裡，他也被這道題繁瑣的步驟卡了一會兒。
直到剛才坐在晃晃悠悠的紅線列車上，才想出了一個簡便做法：
其實只要對遞推式做差，構造出一個等比數列，三行算式就能解開。
他在腦子裡又過了一遍步驟，推門走進了教室。
聽見開門聲，離門最近的一個男生停下筆，打量了一眼這副生面孔。
男生穿著件挺括的淺色牛津紡襯衫，扶了下眼鏡，隨口問道：
「你找誰？」
「我是來聽workshop的。」
「哪個學校的？林肯公園高中還是萊恩理工高中的？」
「溫德姆高中。」
「啊？」
眼鏡男生一愣，聽見不是什麼有名的學校，頓時沒了追問的興趣，「哦」了一聲，轉過頭繼續和同桌研究特徵根的計算步驟。
教室里的其他人也只是隨意瞥了一眼，便各忙各的去了。
李傲樂得清靜，去後排角落挑了個空位坐下，隨手把包扔上桌面。
他剛翻開講義寫了兩行算式，前門就被一把推開了。
「行了，都找地方坐好。」
一個髮際線嚴重後移的中年男人大步走進來，手裡攥著一沓講義。
原本還鬧哄哄的教室立刻靜了下來。
格林老師掃視了一圈，目光在後排生面孔的李傲身上稍稍停頓了一秒，便移開了。
這位競賽教練毫無廢話，轉身抓起粉筆就在黑板上唰唰寫下一道題：
數列{a_n}滿足 a_1 = 1， a_2 = 5，且 a_{n+2}= 4a_{n+1}- 3a_n，求 a_20。
「最後這道遞推大題，誰做出來了？」格林拍了拍手上的粉筆灰，回頭問道。
「我來吧。」剛才問過李傲學校的襯衫男不緊不慢地合上筆記本，舉了下手，隨即推開椅子站起來。
「哦，是瑞安啊，上來試試吧。」格林老師點了點頭。
瑞安上了講台，抓起半截粉筆就寫，顯然早有腹稿。
他的思路極其四平八穩：先列特徵方程 x^2 - 4x + 3 = 0，解出特徵根 1和 3；接著設通項 a_n = A + B * 3^n，再代入初始條件硬解方程組求係數。
沒一會兒，黑板上就鋪滿了大片繁瑣的運算式。
格林雙臂交叉站在一旁，靜靜看著，等瑞安寫到後來，他突然開口問了一句：「馬修今天怎麼沒來？」
「他參加州里的物理競賽去了。」底下有人答道。
格林挑了挑眉，轉頭看向瑞安。
瑞安剛算出了通項 a_n = 2 * 3^{n-1}- 1，正準備把 n=20代進去。
「行了瑞安，寫到通項就足夠了。」
格林制止了他，隨後看向在座的十來個學生，「除了這種死算的路子，還有沒有更省力的解法？」
教室里一陣沉默。
「特徵根法」是遞歸數列中的一個標準解法，雖然繁瑣，但勝在穩健，大部分的題型都能套用。
「這題不就應該這麼解嗎？」
瑞安小聲嘀咕了一句，把粉筆扔回槽里，悶頭回了座位。
格林的目光掠過前排那幾個躲閃的眼神，最後越過半個教室，落在了後排角落：
「你叫Leo，是吧？」
離得近的幾個學生回頭看了看還在刷題的李傲，其他人也順著格林的目光瞥了一眼。
「從南區坐紅線列車過來，單程得一個多小時吧？」
格林的語氣不像剛才那麼生硬，反而帶了點鼓勵的意思，「大老遠跑一趟，別在後頭一聲不吭。上來試試，寫不出答案也沒事，隨便寫點思路，讓我摸摸你的底。」
這話一出，教室里頓時泛起一陣小聲的嘀咕。
「從南區來的？」
「跑這麼遠來上競賽課，圖啥啊。」
李傲沒說話，合上筆蓋站起身，在十幾道好奇甚至帶著點審視的目光中走上講台。
他從粉筆盒裡撿了半截粉筆，沒去碰瑞安那占了黑板半壁江山的推導過程，只在旁邊找了塊空地。
第一步，做差：a_{n+2}- a_{n+1}= 3(a_{n+1}- a_n)
第二步，令 d_n = a_{n+1}- a_n，則{d_n}是首項為 4，公比為 3的等比數列。
第三步，累加：a_n = 1 + 4 *(3^{n-1}- 1)/(3 - 1)= 2 * 3^{n-1}- 1
統共就三行式子。
寫完，他沖格林老師點了點頭，然後把粉筆往槽里一丟，拍拍手轉身下台。
「臥槽……直接做差構造等比數列？」
「靠，對啊，這麼一搞？常數直接給消掉了……」
「三行……這就寫完了？」
教室里的安靜這下徹底破功了，有人下意識地拿筆在草稿紙上跟著劃拉。
瑞安盯著那三行式子，手裡轉著的原子筆「啪」地掉在了桌上。
自己吭哧吭哧列方程求了半天的待定係數，人家也就是隨手做個減法的事兒？
對比太慘烈了。
格林盯著黑板端詳了兩秒，原本板著的臉上難得擠出點笑模樣。
他拿指關節在那串簡潔的步驟旁敲了兩下，衝著正往回走的李傲點了點頭：
「這個解法，你在哪看到的？」
「61街的公共圖書館，我在那兒借過一本叫《AMC問題與解答》的舊書。」
李傲停在了自己座位旁邊，「裡面有道數論例題，是用構造數列來做逼近證明的，我借了點它的思路。
「其實這道題我最開始也用特徵根法硬算的，但是剛才在紅線列車上閒著沒事，覺得有點靈感，就換了個法子。」
格林沒再追問。
能從一道數論題的構造法里抓到思路，套到一道完全不相關的遞推數列題上……
看來布朗在電話里真沒吹牛，這小子花半個月自學補完11年級代數二，確實有點東西。
他收回目光，重新拿起粉筆：「好，我們看下一題。」
接下來的整個上午都是高強度的講題。格林推板書的進度極快，一道接著一道，根本不顧忌底下人的死活。
數學競賽的殘酷性就在這兒：這是只給少數天才準備的遊戲，從來不是什麼人人平等的大鍋飯。
李傲依舊窩在最後排，筆尖在草稿紙上不停地劃拉著。
他發現隨著智力屬性的提升，【舉一反三】這個詞條的能力也越來越強。
格林講授的那些高階技巧，他往往剛聽個開頭，腦子裡就已經跟之前做過的某道題對上了號，反應速度比平時刷題的時候快了不少。
「有教練帶，就是不一樣……」
李傲心裡想著，難怪前世帶的那些富二代都要花大價錢雇競賽教練。
有人歸納總結各種題型思路，比自己悶頭刷題效率高多了。
這一堂課幾個小時，頂得上苦學好幾天的。
短暫的午休之後，下午一點，是兩小時的驗收測試。
卷子題量很大，教室里安靜得只剩下筆尖戳著紙面的「沙沙」聲，沒人敢溜號。
唯獨李傲仰靠在椅背上，轉著筆，有條不紊地往下推著算式。
「還有半個小時，抓緊時間。」
格林靠在講台後的椅子上，擰開可樂灌了一口，出聲提醒。
話音剛落，後排傳來椅子腿摩擦地板的輕響。
李傲拎著卷子走到講桌前：
「格林老師，我做完了，能交卷麼？」
格林愣了一下，下意識瞥了眼牆上的掛鍾：「全做完了？」
李傲點點頭。
「還剩半個鐘頭呢，不再檢查檢查？」
「不了老師。我一會兒還得趕回去打工，今天老闆沒批假，去晚了要扣錢的。」
……
「做了，這題算特徵根就行。」
「這樣啊，那我去試試，會不會計算量太大了。」
「硬算唄，不然推不出通項，這題中間那幾步真的噁心，太容易算錯，不過難倒是不難。」
……
惠特尼·楊高中的一間教室里，距離workshop開始還有些時間。
大半的學生已經提前到了，正三三兩兩地聚在一塊兒，對著提前發下的預習講義核對思路。
李傲剛走到門外，聽見這幾句抱怨，立刻就跟講義上的題目對上了號。
他們討論的，正是布朗那份講義里的最後一道大題。
今早在家裡，他也被這道題繁瑣的步驟卡了一會兒。
直到剛才坐在晃晃悠悠的紅線列車上，才想出了一個簡便做法：
其實只要對遞推式做差，構造出一個等比數列，三行算式就能解開。
他在腦子裡又過了一遍步驟，推門走進了教室。
聽見開門聲，離門最近的一個男生停下筆，打量了一眼這副生面孔。
男生穿著件挺括的淺色牛津紡襯衫，扶了下眼鏡，隨口問道：
「你找誰？」
「我是來聽workshop的。」
「哪個學校的？林肯公園高中還是萊恩理工高中的？」
「溫德姆高中。」
「啊？」
眼鏡男生一愣，聽見不是什麼有名的學校，頓時沒了追問的興趣，「哦」了一聲，轉過頭繼續和同桌研究特徵根的計算步驟。
教室里的其他人也只是隨意瞥了一眼，便各忙各的去了。
李傲樂得清靜，去後排角落挑了個空位坐下，隨手把包扔上桌面。
他剛翻開講義寫了兩行算式，前門就被一把推開了。
「行了，都找地方坐好。」
一個髮際線嚴重後移的中年男人大步走進來，手裡攥著一沓講義。
原本還鬧哄哄的教室立刻靜了下來。
格林老師掃視了一圈，目光在後排生面孔的李傲身上稍稍停頓了一秒，便移開了。
這位競賽教練毫無廢話，轉身抓起粉筆就在黑板上唰唰寫下一道題：
數列{a_n}滿足 a_1 = 1， a_2 = 5，且 a_{n+2}= 4a_{n+1}- 3a_n，求 a_20。
「最後這道遞推大題，誰做出來了？」格林拍了拍手上的粉筆灰，回頭問道。
「我來吧。」剛才問過李傲學校的襯衫男不緊不慢地合上筆記本，舉了下手，隨即推開椅子站起來。
「哦，是瑞安啊，上來試試吧。」格林老師點了點頭。
瑞安上了講台，抓起半截粉筆就寫，顯然早有腹稿。
他的思路極其四平八穩：先列特徵方程 x^2 - 4x + 3 = 0，解出特徵根 1和 3；接著設通項 a_n = A + B * 3^n，再代入初始條件硬解方程組求係數。
沒一會兒，黑板上就鋪滿了大片繁瑣的運算式。
格林雙臂交叉站在一旁，靜靜看著，等瑞安寫到後來，他突然開口問了一句：「馬修今天怎麼沒來？」
「他參加州里的物理競賽去了。」底下有人答道。
格林挑了挑眉，轉頭看向瑞安。
瑞安剛算出了通項 a_n = 2 * 3^{n-1}- 1，正準備把 n=20代進去。
「行了瑞安，寫到通項就足夠了。」
格林制止了他，隨後看向在座的十來個學生，「除了這種死算的路子，還有沒有更省力的解法？」
教室里一陣沉默。
「特徵根法」是遞歸數列中的一個標準解法，雖然繁瑣，但勝在穩健，大部分的題型都能套用。
「這題不就應該這麼解嗎？」
瑞安小聲嘀咕了一句，把粉筆扔回槽里，悶頭回了座位。
格林的目光掠過前排那幾個躲閃的眼神，最後越過半個教室，落在了後排角落：
「你叫Leo，是吧？」
離得近的幾個學生回頭看了看還在刷題的李傲，其他人也順著格林的目光瞥了一眼。
「從南區坐紅線列車過來，單程得一個多小時吧？」
格林的語氣不像剛才那麼生硬，反而帶了點鼓勵的意思，「大老遠跑一趟，別在後頭一聲不吭。上來試試，寫不出答案也沒事，隨便寫點思路，讓我摸摸你的底。」
這話一出，教室里頓時泛起一陣小聲的嘀咕。
「從南區來的？」
「跑這麼遠來上競賽課，圖啥啊。」
李傲沒說話，合上筆蓋站起身，在十幾道好奇甚至帶著點審視的目光中走上講台。
他從粉筆盒裡撿了半截粉筆，沒去碰瑞安那占了黑板半壁江山的推導過程，只在旁邊找了塊空地。
第一步，做差：a_{n+2}- a_{n+1}= 3(a_{n+1}- a_n)
第二步，令 d_n = a_{n+1}- a_n，則{d_n}是首項為 4，公比為 3的等比數列。
第三步，累加：a_n = 1 + 4 *(3^{n-1}- 1)/(3 - 1)= 2 * 3^{n-1}- 1
統共就三行式子。
寫完，他沖格林老師點了點頭，然後把粉筆往槽里一丟，拍拍手轉身下台。
「臥槽……直接做差構造等比數列？」
「靠，對啊，這麼一搞？常數直接給消掉了……」
「三行……這就寫完了？」
教室里的安靜這下徹底破功了，有人下意識地拿筆在草稿紙上跟著劃拉。
瑞安盯著那三行式子，手裡轉著的原子筆「啪」地掉在了桌上。
自己吭哧吭哧列方程求了半天的待定係數，人家也就是隨手做個減法的事兒？
對比太慘烈了。
格林盯著黑板端詳了兩秒，原本板著的臉上難得擠出點笑模樣。
他拿指關節在那串簡潔的步驟旁敲了兩下，衝著正往回走的李傲點了點頭：
「這個解法，你在哪看到的？」
「61街的公共圖書館，我在那兒借過一本叫《AMC問題與解答》的舊書。」
李傲停在了自己座位旁邊，「裡面有道數論例題，是用構造數列來做逼近證明的，我借了點它的思路。
「其實這道題我最開始也用特徵根法硬算的，但是剛才在紅線列車上閒著沒事，覺得有點靈感，就換了個法子。」
格林沒再追問。
能從一道數論題的構造法里抓到思路，套到一道完全不相關的遞推數列題上……
看來布朗在電話里真沒吹牛，這小子花半個月自學補完11年級代數二，確實有點東西。
他收回目光，重新拿起粉筆：「好，我們看下一題。」
接下來的整個上午都是高強度的講題。格林推板書的進度極快，一道接著一道，根本不顧忌底下人的死活。
數學競賽的殘酷性就在這兒：這是只給少數天才準備的遊戲，從來不是什麼人人平等的大鍋飯。
李傲依舊窩在最後排，筆尖在草稿紙上不停地劃拉著。
他發現隨著智力屬性的提升，【舉一反三】這個詞條的能力也越來越強。
格林講授的那些高階技巧，他往往剛聽個開頭，腦子裡就已經跟之前做過的某道題對上了號，反應速度比平時刷題的時候快了不少。
「有教練帶，就是不一樣……」
李傲心裡想著，難怪前世帶的那些富二代都要花大價錢雇競賽教練。
有人歸納總結各種題型思路，比自己悶頭刷題效率高多了。
這一堂課幾個小時，頂得上苦學好幾天的。
短暫的午休之後，下午一點，是兩小時的驗收測試。
卷子題量很大，教室里安靜得只剩下筆尖戳著紙面的「沙沙」聲，沒人敢溜號。
唯獨李傲仰靠在椅背上，轉著筆，有條不紊地往下推著算式。
「還有半個小時，抓緊時間。」
格林靠在講台後的椅子上，擰開可樂灌了一口，出聲提醒。
話音剛落，後排傳來椅子腿摩擦地板的輕響。
李傲拎著卷子走到講桌前：
「格林老師，我做完了，能交卷麼？」
格林愣了一下，下意識瞥了眼牆上的掛鍾：「全做完了？」
李傲點點頭。
「還剩半個鐘頭呢，不再檢查檢查？」
「不了老師。我一會兒還得趕回去打工，今天老闆沒批假，去晚了要扣錢的。」
……