第25章 第三種解法
[已知方程x=√（x-1/x）+√（1-1/x），請用三種不同思路的方法，求出x的值。]
目光盯著這道題，羅倫一時陷入思索。
這道題本身的求值並不難，雖無法一眼得到x的值，但也基本是一眼就知道如何去推導便能獲得最終的值。
然而，能求出這道題的值還不行，需得進一步給出三種不同思路的解法。
這就稍微有點上難度了。
否則，以提麗絲的數學水平，斷然不會被一道解方程題逼到那種局面。
即便是羅倫，也感覺到了一絲的棘手。
但也僅只是一絲罷了。
思索了大約一分鐘，羅倫的腦海中便大致勾勒出這道方程題的三種解法輪廓，隨後他毫不遲疑，迅速調集精神能量開始了作答。
[解法一：隔離根號並平方，進行二次平方操作後，可消去剩餘根號……易得到四次方程，x^4−2x^3−x^2+2x+1=0，通過分組分解法，易發現四次方程可分解為（x^2−x−1）^2=0，結合定義域……解得x=（1+√5）/2。]
這種解法是典型的逐次平方法，可用來處理嵌套根號的方程，算是一類標準化的求解流程。
雖然其局限性也很明顯，比如平方次數越多，方程次數越高，而高次方程的因式分解非常麻煩。但放到這一道題目中，卻是恰如其分，剛剛好。
第一種解法寫完，羅倫稍事停頓，又開始書寫起了下一種解法。
[解法二：利用換元法，令√（x-1/x）=a，√（1-1/x）=b，於是原題可寫成a+b=x，簡單計算後得a−b=1−1/x，相加得2a=x+1−1/x，換算後得2√（x-1/x）=x+1−1/x，經過簡單調整，易知這是一個完全平方式，因此，可得方程x^2−x−1=0，結合定義域……解得x=（1+√5）/2。]
第二種解法，相較於第一種，自然就是常規且具有套路化的換元法了。
在解方程的題目中，這種解法是最為普遍的，羅倫坐起來也最順手。
至於第三種解法……
羅倫原本的思路是構造幾何圖，通過幾何法來求解。此刻寫完兩種解法，並發現x=（1+√5）/2之後，他的腦海中又漸漸冒出來了第四種、第五種等更多的解法。
因為，（1+√5）/2這個值非常特殊，乃是數學語境下的黃金比例，約等於1.6180339887。
其倒數為(√5 - 1)/2，約等於0.6180339887。
而黃金比例是一個很有趣的東西，與斐波那契數列相關，也就是前兩項之和永遠等於下一項的一類數列。
在數學中，斐波那契數列有許多有趣的性質與現象，利用這些性質與現象，便能倒推這道題，從而給出更多的解法。
不過羅倫琢磨了下，發現第四種、第五種解法都太過繁瑣，比較繞，便還是老老實實用起了第三種解法。
[解法三：觀察原式，易知√（x-1/x）形似√（a^2-b^2），可構造直角三角形ABC，令其斜邊AC為√x，一條直角邊BC為√1/x，可知另一條直角邊AB為√（x-1/x）。
再延長AB，在延長線上取一點D，連接C點，使CD的長度為1，由此可得到新三角形ACD。易知AD=AB+BD，替換後可得AD=√（x-1/x）+√（1-1/x），恰好等於原式。
再通過面積換算，易證三角形ACD為直角三角形，根據勾股定理，易得方程1^2+（√x)^2=x^2，結合定義域……解得x=（1+√5）/2。]
這第三種解法，自然就是幾何法了。
沒什麼特殊之處，只要思路流轉到那裡，自然而然就知道構造兩個直角三角形來進行解答。
但若是思路沒有流轉到那裡，還真就摳破腦袋皮也想不出這種解法。
三種解法書寫完畢後，羅倫抬眼掃了掃提麗絲幾人那邊。
此刻，達斯已經與他們匯合，在他的幫助下，原本四人的壓力驟降，但在那頭字符怪連續揮舞的蛇尾抽打與不時吐出的長舌舔擊之下，依舊頗為艱難。
「湯姆隊長。」羅倫喚了聲旁側的湯姆。
湯姆連忙挪過來問：「怎麼了？」
「我這邊已經好了，接下來，需要你上前為我吸引這頭字符怪的蛇尾攻擊，我好趁機在一旁攻擊它。」
「沒問題。」
湯姆點頭應了一聲，接著扔下手中的長劍，舉起盾牌快步衝進了第三條蛇尾的攻擊範圍。
剎那間，那條原本在製造異響，不讓羅倫等人通過聲音傳遞知識的蛇尾，驟然停下原本的動作，而後一個蛇形走位回拉蓄力，接著無比兇悍且迅猛地朝著湯姆所在的位置掄去。
這一次，湯姆不閃不避，屈膝沉胯，舉起手中的盾牌。
啪！
蛇尾抽打在盾牌之上，發出一道爆鳴，湯姆的身形被抽得連連後撤，差點倒飛出去。
但下一秒，就見湯姆扔開盾牌，一把環抱住蛇尾的末端，同時周身精神能量涌動，赤光大盛，牢牢將自己的身形定在了原地，雙手死抱著蛇尾不撒手。
他嘶聲大吼道：
「羅倫，快！」
不必他提醒，看到了進攻機會的羅倫，便已然拔步上前，將手中的光刃狠狠砍在了那一條蛇尾之上。
霎時間，光刃上那三種解法光華閃爍，直接令得與光刃接觸到的蛇尾部分爆裂崩散，一片片文字、數字、符號與線條迸濺得到處都是，整頭巨型的字符怪，像是突然被按下了暫停一般，變得一動不動。
但讓羅倫眉頭微蹙的是，與之前所遇到過的其他字符怪物不一樣，這一頭字符怪，仿佛對正確答案也具有免疫性一般。
其條蛇尾在受到三種解法的侵蝕之下，僅只是崩散了四五米，便穩定了下來，還餘下二十來米的蛇尾依舊完好。
「這，成了嗎？」湯姆問。
「成了一半，不過，這頭字符怪有點特殊……」
羅倫搖了搖頭，但卻沒有遲疑，再次快步上前揮起一刀砍在字符怪蛇尾的傷口處。
嘭的一聲，羅倫手中的光刃因精神能量耗竭且他也沒有進行補充而崩碎消失，那被砍中的傷口，則再次爆開無數的數字線條與符號，與先前那一批散碎的字符糅合在一起，飄在上空，既沒有散去，也沒有化作純粹的精神能量。
字符怪的蛇尾又被削去了一截，但餘下的蛇尾仍有十六七米。
此時，因整頭字符怪受到羅倫這邊的攻擊，陷入停滯狀態，提麗絲五人終於獲得了喘息的時機。
他們趁此時間，攙扶起另外兩名癱在地上的同伴，跌跌撞撞地前來與羅倫和湯姆匯合。
黑裙搖擺間，提麗絲邁著修長勻稱的美腿走到羅倫近前，疲倦萎靡的神態中，夾帶著一絲喜色：
「羅倫，你找出第三種解法了？」
「嗯。」羅倫點頭，此刻也沒什麼敝帚自珍的想法，將自己的第三種解法向她簡單講述了一遍。
「通過構造直角三角形來求解……厲害，你居然連這種思路都能想到，而且還是在這麼短的時間內！」
目光盯著這道題，羅倫一時陷入思索。
這道題本身的求值並不難，雖無法一眼得到x的值，但也基本是一眼就知道如何去推導便能獲得最終的值。
然而，能求出這道題的值還不行，需得進一步給出三種不同思路的解法。
這就稍微有點上難度了。
否則，以提麗絲的數學水平，斷然不會被一道解方程題逼到那種局面。
即便是羅倫，也感覺到了一絲的棘手。
但也僅只是一絲罷了。
思索了大約一分鐘，羅倫的腦海中便大致勾勒出這道方程題的三種解法輪廓，隨後他毫不遲疑，迅速調集精神能量開始了作答。
[解法一：隔離根號並平方，進行二次平方操作後，可消去剩餘根號……易得到四次方程，x^4−2x^3−x^2+2x+1=0，通過分組分解法，易發現四次方程可分解為（x^2−x−1）^2=0，結合定義域……解得x=（1+√5）/2。]
這種解法是典型的逐次平方法，可用來處理嵌套根號的方程，算是一類標準化的求解流程。
雖然其局限性也很明顯，比如平方次數越多，方程次數越高，而高次方程的因式分解非常麻煩。但放到這一道題目中，卻是恰如其分，剛剛好。
第一種解法寫完，羅倫稍事停頓，又開始書寫起了下一種解法。
[解法二：利用換元法，令√（x-1/x）=a，√（1-1/x）=b，於是原題可寫成a+b=x，簡單計算後得a−b=1−1/x，相加得2a=x+1−1/x，換算後得2√（x-1/x）=x+1−1/x，經過簡單調整，易知這是一個完全平方式，因此，可得方程x^2−x−1=0，結合定義域……解得x=（1+√5）/2。]
第二種解法，相較於第一種，自然就是常規且具有套路化的換元法了。
在解方程的題目中，這種解法是最為普遍的，羅倫坐起來也最順手。
至於第三種解法……
羅倫原本的思路是構造幾何圖，通過幾何法來求解。此刻寫完兩種解法，並發現x=（1+√5）/2之後，他的腦海中又漸漸冒出來了第四種、第五種等更多的解法。
因為，（1+√5）/2這個值非常特殊，乃是數學語境下的黃金比例，約等於1.6180339887。
其倒數為(√5 - 1)/2，約等於0.6180339887。
而黃金比例是一個很有趣的東西，與斐波那契數列相關，也就是前兩項之和永遠等於下一項的一類數列。
在數學中，斐波那契數列有許多有趣的性質與現象，利用這些性質與現象，便能倒推這道題，從而給出更多的解法。
不過羅倫琢磨了下，發現第四種、第五種解法都太過繁瑣，比較繞，便還是老老實實用起了第三種解法。
[解法三：觀察原式，易知√（x-1/x）形似√（a^2-b^2），可構造直角三角形ABC，令其斜邊AC為√x，一條直角邊BC為√1/x，可知另一條直角邊AB為√（x-1/x）。
再延長AB，在延長線上取一點D，連接C點，使CD的長度為1，由此可得到新三角形ACD。易知AD=AB+BD，替換後可得AD=√（x-1/x）+√（1-1/x），恰好等於原式。
再通過面積換算，易證三角形ACD為直角三角形，根據勾股定理，易得方程1^2+（√x)^2=x^2，結合定義域……解得x=（1+√5）/2。]
這第三種解法，自然就是幾何法了。
沒什麼特殊之處，只要思路流轉到那裡，自然而然就知道構造兩個直角三角形來進行解答。
但若是思路沒有流轉到那裡，還真就摳破腦袋皮也想不出這種解法。
三種解法書寫完畢後，羅倫抬眼掃了掃提麗絲幾人那邊。
此刻，達斯已經與他們匯合，在他的幫助下，原本四人的壓力驟降，但在那頭字符怪連續揮舞的蛇尾抽打與不時吐出的長舌舔擊之下，依舊頗為艱難。
「湯姆隊長。」羅倫喚了聲旁側的湯姆。
湯姆連忙挪過來問：「怎麼了？」
「我這邊已經好了，接下來，需要你上前為我吸引這頭字符怪的蛇尾攻擊，我好趁機在一旁攻擊它。」
「沒問題。」
湯姆點頭應了一聲，接著扔下手中的長劍，舉起盾牌快步衝進了第三條蛇尾的攻擊範圍。
剎那間，那條原本在製造異響，不讓羅倫等人通過聲音傳遞知識的蛇尾，驟然停下原本的動作，而後一個蛇形走位回拉蓄力，接著無比兇悍且迅猛地朝著湯姆所在的位置掄去。
這一次，湯姆不閃不避，屈膝沉胯，舉起手中的盾牌。
啪！
蛇尾抽打在盾牌之上，發出一道爆鳴，湯姆的身形被抽得連連後撤，差點倒飛出去。
但下一秒，就見湯姆扔開盾牌，一把環抱住蛇尾的末端，同時周身精神能量涌動，赤光大盛，牢牢將自己的身形定在了原地，雙手死抱著蛇尾不撒手。
他嘶聲大吼道：
「羅倫，快！」
不必他提醒，看到了進攻機會的羅倫，便已然拔步上前，將手中的光刃狠狠砍在了那一條蛇尾之上。
霎時間，光刃上那三種解法光華閃爍，直接令得與光刃接觸到的蛇尾部分爆裂崩散，一片片文字、數字、符號與線條迸濺得到處都是，整頭巨型的字符怪，像是突然被按下了暫停一般，變得一動不動。
但讓羅倫眉頭微蹙的是，與之前所遇到過的其他字符怪物不一樣，這一頭字符怪，仿佛對正確答案也具有免疫性一般。
其條蛇尾在受到三種解法的侵蝕之下，僅只是崩散了四五米，便穩定了下來，還餘下二十來米的蛇尾依舊完好。
「這，成了嗎？」湯姆問。
「成了一半，不過，這頭字符怪有點特殊……」
羅倫搖了搖頭，但卻沒有遲疑，再次快步上前揮起一刀砍在字符怪蛇尾的傷口處。
嘭的一聲，羅倫手中的光刃因精神能量耗竭且他也沒有進行補充而崩碎消失，那被砍中的傷口，則再次爆開無數的數字線條與符號，與先前那一批散碎的字符糅合在一起，飄在上空，既沒有散去，也沒有化作純粹的精神能量。
字符怪的蛇尾又被削去了一截，但餘下的蛇尾仍有十六七米。
此時，因整頭字符怪受到羅倫這邊的攻擊，陷入停滯狀態，提麗絲五人終於獲得了喘息的時機。
他們趁此時間，攙扶起另外兩名癱在地上的同伴，跌跌撞撞地前來與羅倫和湯姆匯合。
黑裙搖擺間，提麗絲邁著修長勻稱的美腿走到羅倫近前，疲倦萎靡的神態中，夾帶著一絲喜色：
「羅倫，你找出第三種解法了？」
「嗯。」羅倫點頭，此刻也沒什麼敝帚自珍的想法，將自己的第三種解法向她簡單講述了一遍。
「通過構造直角三角形來求解……厲害，你居然連這種思路都能想到，而且還是在這麼短的時間內！」