第42章 格林函數解電磁邊值問題
葉安目送老唐被周玲堵在連廊里，那一聲聲「不勒」越來越弱，最後徹底淹沒在教學樓的嘈雜里。
他搖了搖頭，三步並兩步上了樓，回到教室坐下，把胡建國留的數論專題翻到第六題繼續啃。
這道題比前五道都噁心，三重同餘約束嵌套了一個二次剩餘判定，光是把條件理清就花了他四分鐘。
好在【數理本源】啟動之後，構造輔助序列的方向幾乎是本能浮上來的。
筆尖劃了十二行，句號落下，第六題收尾。
剩下的六道題他打算留到晚上宿舍里慢慢磨。不是做不完，是想給腦子留點喘息的空間張女士那句「別把自己搞垮了」還在耳朵里轉。
接下來的幾天，葉安的時間表被切割得跟手術台上的CT片一樣精密。
周一到周五，白天跟班上課，課間見縫插針刷競賽資料。
晚自習前半段消化當天新課，後半段做胡建國的數論專題或者仲文的物理拓展題。
周三晚自習，數學競賽教室，第一次正式訓練。
周六上午，數學專題限時卷。
周六下午，物理競賽集訓。
時間一轉，又到了周六。
下午一點，競賽教室。
仲文準時出現在門口，保溫杯擱在講台上，杯蓋擰開冒著熱氣。
五個人各就各位，凌棲月靠窗，葉安在她旁邊，火箭班的周然、陳昊、王睿占了門口那三張桌子。
「今天講兩個專題，電磁感應的綜合模型和帶電粒子在複合場中的運動。」
仲文拿起粉筆，轉身就寫。
兩節課，一百二十分鐘，粉筆換了三根。
仲文講課的節奏跟機關槍似的，每一個知識點砸下來都帶著彈殼的溫度，容不得半點走神。電磁感應的楞次定律、法拉第定律的微分形式、自感互感的能量儲存模型，一層一層往上疊，複雜度呈指數級攀升。
葉安的筆記翻到了第四頁，黑筆寫主幹，藍筆標公式變形，空白處塞滿自己的批註。
【物理推演】在意識後台持續運轉，仲文板書上的每一個物理模型都被即時拆解成三維動態圖景~感應電動勢的產生、渦流的分布、安培力的方向，全部以最直觀的方式呈現在他腦中。
兩節課結束，仲文放下粉筆，從講台底下抽出一沓裝訂好的試卷，五份，一人一張。
「接下來的時間，做卷子。」
仲文把試卷分下去，杯蓋擰上，靠在講台邊上掃了一圈五個人的臉。
「這套卷子是我根據近三年省賽的題型和難度自編的，一共八道大題，限時兩個半小時。」
葉安接過試卷，翻了一下。
八道題，卷面乾淨，題目不長，但每一道的條件都嵌了三到四層。
第一題就不是善茬~一個導體棒在非均勻磁場中做變加速運動，求任意時刻的感應電動勢和安培力。
常規的BLv公式在這裡直接廢掉，因為磁場強度隨位置線性變化，速度又隨時間非線性變化，必須對兩個變量同時做積分。
微積分。
葉安掃了一眼後面幾道，第三題涉及電磁振盪迴路的阻尼衰減，要用到微分方程。
第五題是帶電粒子在交變電場和恆定磁場疊加區域中的運動軌跡，條件複雜得能寫滿半張A4紙。
第七題更狠，一個由四個電容和兩個電感構成的複雜網絡，求諧振頻率這玩意已經踩到大學電路分析的門檻上了。
葉安拿起筆，從第一題開始。
【物理推演】全功率啟動。導體棒的運動模型在意識空間中展開，磁場的等值線、棒的位移曲線、感應電流的環路，所有物理量化成彩色的矢量箭頭和動態曲面。
筆尖落紙，速度比平時快了三成。
第一題的積分式被他拆成兩個部分，先對空間積分求出等效磁通量的變化率，再對時間積分求出電動勢的瞬時值。兩步走完，安培力順勢就出來了。
整道題從讀題到落筆到寫完，六分鐘。
翻頁。第二題，旋轉線圈在勻強磁場中的交流發電模型，求電流的有效值和電阻上的熱功率。這道相對簡單，三角函數的積分，四分鐘搞定。
第三題開始上強度。
電磁振盪迴路的阻尼衰減，電容初始充電後接入含電阻的迴路，求電荷量隨時間的變化函數。
本質上是一個二階常係數齊次微分方程。
葉安的筆在草稿紙上寫下特徵方程，判別式小於零，屬於欠阻尼振盪。
通解的形式是指數衰減乘以三角函數，代入初始條件確定兩個待定常數。
微分方程的求解過程在【數理本源】的加持下流暢得不像話~高斯留下的那套路徑直覺，讓他在寫下特徵方程的同時就已經「看見」了通解的結構，中間的推導不過是把腦中的圖景翻譯成紙面上的符號。
七分鐘，第三題收工。
對面的周然還卡在第一題的積分步驟上，草稿紙換了第二張，眉心擰成一個結。
陳昊更慘，第一題的公式列到一半發現變量搞反了，整頁劃掉重來。
王睿倒是寫了不少，但筆尖的猶豫出賣了他每一步都要停頓兩三秒，顯然對微積分工具的運用還不夠熟練。
凌棲月的速度在五個人里排第二。她的草稿紙上沒有塗改，每一行推導都乾淨利落，但到第三題也明顯慢了下來。
二階微分方程不是高中教學範圍內的東西，她的解法繞了一個大彎，用能量守恆去逼近衰減規律，思路正確但計算量翻了一倍。
葉安沒有分心去看別人，繼續往下推。
第四題，第五題，第六題。
每一道的計算量都大得離譜，第五題那個複合場中的粒子軌跡，光是把初始條件代入運動方程就寫了整整一頁草稿紙。
但葉安的筆始終沒有停頓超過十秒推演能力把所有可能的岔路預先掃了一遍，每一步都踩在最短路徑上。
第七題，複雜電路網絡的諧振頻率。
這道題的難點不在物理，在數學。四個電容兩個電感構成的網絡，等效阻抗的表達式嵌了三層分式，化簡的過程就是純粹的代數功夫。
葉安在草稿紙上鋪開計算，分式通分、合併同類項、提取公因式，每一步都快准狠。
【數理本源】和【物理推演】雙線並行，數學負責化簡，物理負責驗證~每算完一步，推演能力就自動檢查中間結果的物理意義，確保沒有跑偏。
最後一道，第八題。
壓軸。
一個超導線圈在外加時變磁場中的動力學響應，要求用法拉第定律和牛頓第二定律聯立，推導出線圈振動的頻率和振幅。
條件里藏了一個陷阱~超導體內部磁通量守恆，這意味著外加磁場的變化會在超導線圈中產生持續的感應電流，這個電流和外磁場相互作用產生的安培力，才是驅動線圈振動的根源。
葉安把題目讀了兩遍，確認沒有遺漏條件，落筆。
十五分鐘後，第八題的最後一個等號右側，振動頻率的表達式被工工整整地寫在了答題區域裡。
葉安擱筆，翻回第一頁從頭檢查了一遍。每道題的關鍵步驟、單位、正負號，逐一核對，確認無誤。
他合上試卷，站起來走到講台前。
仲文正靠在窗邊翻一本物理學報，聽到腳步聲抬起頭，瞥了眼牆上的掛鍾。
兩個小時整。限時兩個半小時，提前三十分鐘。
仲文沒說話，接過試卷，翻開第一頁。
葉安沒回座位，就站在講台邊上等著。
仲文的紅筆從第一題劃到第八題，速度不快不慢，偶爾在某一步的推導旁邊停兩秒，用筆尖點一下，然後繼續往下掃。
教室里安靜得能聽見秒針的聲響。其餘四個人都埋在卷子裡，沒人抬頭，但葉安注意到周然握筆的手指收緊了一下~他顯然聽見了葉安站起來走動的聲音，也算得出這意味著什麼。
仲文翻完最後一頁，紅筆擱回筆筒。
他盯著第八題的解答看了五秒，指腹在紙面上蹭了一下，把某處墨跡未乾的字跡蹭花了一丁點。
「第六題的最後一步，你用了格林函數。」
葉安點頭。
「高中生用格林函數解電磁邊值問題。」仲文重複了一遍這句話，語調平得聽不出任何情緒波動。
他把試卷放在講台上，擰開保溫杯灌了一口水。
「沒有問題，全對。」
三個字砸在安靜的教室里，周然的筆尖在紙面上劃出了一道長長的墨痕。
仲文把試卷推到一邊，重新拿起那本物理學報。
「回去坐著，把剩下的時間用來預習下周的專題，資料室的鑰匙在門框上掛著。」
葉安轉身往回走，路過凌棲月的桌子時腳步頓了一拍。
她正埋頭攻第六題，筆尖懸在一個積分號上方，遲遲沒有落下去。草稿紙上畫了兩種路徑，都在中途斷掉了。
葉安沒出聲，回到自己的座位坐下。
他從書包里抽出那份省賽真題，翻到上次沒做完的最後三道，攤在桌面上。
凌棲月的筆尖終於落了下去，沿著第三種路徑開始推。
教室里重新只剩下筆划過紙面的沙沙聲，和仲文保溫杯偶爾碰到講台的輕響。
窗外的陽光移過了半面牆壁，落在葉安攤開的省賽卷子上，正好照亮第九題題干里那個刺眼的「證明」二字。
他搖了搖頭，三步並兩步上了樓，回到教室坐下，把胡建國留的數論專題翻到第六題繼續啃。
這道題比前五道都噁心，三重同餘約束嵌套了一個二次剩餘判定，光是把條件理清就花了他四分鐘。
好在【數理本源】啟動之後，構造輔助序列的方向幾乎是本能浮上來的。
筆尖劃了十二行，句號落下，第六題收尾。
剩下的六道題他打算留到晚上宿舍里慢慢磨。不是做不完，是想給腦子留點喘息的空間張女士那句「別把自己搞垮了」還在耳朵里轉。
接下來的幾天，葉安的時間表被切割得跟手術台上的CT片一樣精密。
周一到周五，白天跟班上課，課間見縫插針刷競賽資料。
晚自習前半段消化當天新課，後半段做胡建國的數論專題或者仲文的物理拓展題。
周三晚自習，數學競賽教室，第一次正式訓練。
周六上午，數學專題限時卷。
周六下午，物理競賽集訓。
時間一轉，又到了周六。
下午一點，競賽教室。
仲文準時出現在門口，保溫杯擱在講台上，杯蓋擰開冒著熱氣。
五個人各就各位，凌棲月靠窗，葉安在她旁邊，火箭班的周然、陳昊、王睿占了門口那三張桌子。
「今天講兩個專題，電磁感應的綜合模型和帶電粒子在複合場中的運動。」
仲文拿起粉筆，轉身就寫。
兩節課，一百二十分鐘，粉筆換了三根。
仲文講課的節奏跟機關槍似的，每一個知識點砸下來都帶著彈殼的溫度，容不得半點走神。電磁感應的楞次定律、法拉第定律的微分形式、自感互感的能量儲存模型，一層一層往上疊，複雜度呈指數級攀升。
葉安的筆記翻到了第四頁，黑筆寫主幹，藍筆標公式變形，空白處塞滿自己的批註。
【物理推演】在意識後台持續運轉，仲文板書上的每一個物理模型都被即時拆解成三維動態圖景~感應電動勢的產生、渦流的分布、安培力的方向，全部以最直觀的方式呈現在他腦中。
兩節課結束，仲文放下粉筆，從講台底下抽出一沓裝訂好的試卷，五份，一人一張。
「接下來的時間，做卷子。」
仲文把試卷分下去，杯蓋擰上，靠在講台邊上掃了一圈五個人的臉。
「這套卷子是我根據近三年省賽的題型和難度自編的，一共八道大題，限時兩個半小時。」
葉安接過試卷，翻了一下。
八道題，卷面乾淨，題目不長，但每一道的條件都嵌了三到四層。
第一題就不是善茬~一個導體棒在非均勻磁場中做變加速運動，求任意時刻的感應電動勢和安培力。
常規的BLv公式在這裡直接廢掉，因為磁場強度隨位置線性變化，速度又隨時間非線性變化，必須對兩個變量同時做積分。
微積分。
葉安掃了一眼後面幾道，第三題涉及電磁振盪迴路的阻尼衰減，要用到微分方程。
第五題是帶電粒子在交變電場和恆定磁場疊加區域中的運動軌跡，條件複雜得能寫滿半張A4紙。
第七題更狠，一個由四個電容和兩個電感構成的複雜網絡，求諧振頻率這玩意已經踩到大學電路分析的門檻上了。
葉安拿起筆，從第一題開始。
【物理推演】全功率啟動。導體棒的運動模型在意識空間中展開，磁場的等值線、棒的位移曲線、感應電流的環路，所有物理量化成彩色的矢量箭頭和動態曲面。
筆尖落紙，速度比平時快了三成。
第一題的積分式被他拆成兩個部分，先對空間積分求出等效磁通量的變化率，再對時間積分求出電動勢的瞬時值。兩步走完，安培力順勢就出來了。
整道題從讀題到落筆到寫完，六分鐘。
翻頁。第二題，旋轉線圈在勻強磁場中的交流發電模型，求電流的有效值和電阻上的熱功率。這道相對簡單，三角函數的積分，四分鐘搞定。
第三題開始上強度。
電磁振盪迴路的阻尼衰減，電容初始充電後接入含電阻的迴路，求電荷量隨時間的變化函數。
本質上是一個二階常係數齊次微分方程。
葉安的筆在草稿紙上寫下特徵方程，判別式小於零，屬於欠阻尼振盪。
通解的形式是指數衰減乘以三角函數，代入初始條件確定兩個待定常數。
微分方程的求解過程在【數理本源】的加持下流暢得不像話~高斯留下的那套路徑直覺，讓他在寫下特徵方程的同時就已經「看見」了通解的結構，中間的推導不過是把腦中的圖景翻譯成紙面上的符號。
七分鐘，第三題收工。
對面的周然還卡在第一題的積分步驟上，草稿紙換了第二張，眉心擰成一個結。
陳昊更慘，第一題的公式列到一半發現變量搞反了，整頁劃掉重來。
王睿倒是寫了不少，但筆尖的猶豫出賣了他每一步都要停頓兩三秒，顯然對微積分工具的運用還不夠熟練。
凌棲月的速度在五個人里排第二。她的草稿紙上沒有塗改，每一行推導都乾淨利落，但到第三題也明顯慢了下來。
二階微分方程不是高中教學範圍內的東西，她的解法繞了一個大彎，用能量守恆去逼近衰減規律，思路正確但計算量翻了一倍。
葉安沒有分心去看別人，繼續往下推。
第四題，第五題，第六題。
每一道的計算量都大得離譜，第五題那個複合場中的粒子軌跡，光是把初始條件代入運動方程就寫了整整一頁草稿紙。
但葉安的筆始終沒有停頓超過十秒推演能力把所有可能的岔路預先掃了一遍，每一步都踩在最短路徑上。
第七題，複雜電路網絡的諧振頻率。
這道題的難點不在物理，在數學。四個電容兩個電感構成的網絡，等效阻抗的表達式嵌了三層分式，化簡的過程就是純粹的代數功夫。
葉安在草稿紙上鋪開計算，分式通分、合併同類項、提取公因式，每一步都快准狠。
【數理本源】和【物理推演】雙線並行，數學負責化簡，物理負責驗證~每算完一步，推演能力就自動檢查中間結果的物理意義，確保沒有跑偏。
最後一道，第八題。
壓軸。
一個超導線圈在外加時變磁場中的動力學響應，要求用法拉第定律和牛頓第二定律聯立，推導出線圈振動的頻率和振幅。
條件里藏了一個陷阱~超導體內部磁通量守恆，這意味著外加磁場的變化會在超導線圈中產生持續的感應電流，這個電流和外磁場相互作用產生的安培力，才是驅動線圈振動的根源。
葉安把題目讀了兩遍，確認沒有遺漏條件，落筆。
十五分鐘後，第八題的最後一個等號右側，振動頻率的表達式被工工整整地寫在了答題區域裡。
葉安擱筆，翻回第一頁從頭檢查了一遍。每道題的關鍵步驟、單位、正負號，逐一核對，確認無誤。
他合上試卷，站起來走到講台前。
仲文正靠在窗邊翻一本物理學報，聽到腳步聲抬起頭，瞥了眼牆上的掛鍾。
兩個小時整。限時兩個半小時，提前三十分鐘。
仲文沒說話，接過試卷，翻開第一頁。
葉安沒回座位，就站在講台邊上等著。
仲文的紅筆從第一題劃到第八題，速度不快不慢，偶爾在某一步的推導旁邊停兩秒，用筆尖點一下，然後繼續往下掃。
教室里安靜得能聽見秒針的聲響。其餘四個人都埋在卷子裡，沒人抬頭，但葉安注意到周然握筆的手指收緊了一下~他顯然聽見了葉安站起來走動的聲音，也算得出這意味著什麼。
仲文翻完最後一頁，紅筆擱回筆筒。
他盯著第八題的解答看了五秒，指腹在紙面上蹭了一下，把某處墨跡未乾的字跡蹭花了一丁點。
「第六題的最後一步，你用了格林函數。」
葉安點頭。
「高中生用格林函數解電磁邊值問題。」仲文重複了一遍這句話，語調平得聽不出任何情緒波動。
他把試卷放在講台上，擰開保溫杯灌了一口水。
「沒有問題，全對。」
三個字砸在安靜的教室里，周然的筆尖在紙面上劃出了一道長長的墨痕。
仲文把試卷推到一邊，重新拿起那本物理學報。
「回去坐著，把剩下的時間用來預習下周的專題，資料室的鑰匙在門框上掛著。」
葉安轉身往回走，路過凌棲月的桌子時腳步頓了一拍。
她正埋頭攻第六題，筆尖懸在一個積分號上方，遲遲沒有落下去。草稿紙上畫了兩種路徑，都在中途斷掉了。
葉安沒出聲，回到自己的座位坐下。
他從書包里抽出那份省賽真題，翻到上次沒做完的最後三道，攤在桌面上。
凌棲月的筆尖終於落了下去，沿著第三種路徑開始推。
教室里重新只剩下筆划過紙面的沙沙聲，和仲文保溫杯偶爾碰到講台的輕響。
窗外的陽光移過了半面牆壁，落在葉安攤開的省賽卷子上，正好照亮第九題題干里那個刺眼的「證明」二字。