第309章 其實並不複雜
這時，旁邊一直沒說話的陳雲邦老先生拄著拐杖往前走了一步，開口道：
「肖教授，其實這陣子，我和小羅還有團隊裡的人，也一直在琢磨問題到底出在哪了。
之前我們發現光瞳函數的實測結果，總跟設計時的均勻假設對不上，就反覆排查過鏡片加工精度、裝調手法，甚至調整過折反射鏡的對位關係，可就是找不到根源。」
「後來我們也隱隱懷疑過，會不會是折反射鏡在摺疊光路時，引入了光瞳函數的非均勻調製，畢竟折反射鏡的幾何特性，本來就很容易對光瞳的能量分布產生影響，這和我們之前研究光瞳整形技術時遇到的問題有幾分相似。
可是，懷疑歸懷疑，我們手裡一直缺一套能把這份懷疑變成定量分析的工具，沒法用具體數據去佐證這個猜想。」
說到這兒，陳雲邦眉頭微蹙，語氣有些沉重：「傳統的光學設計軟體在這個問題上根本幫不上忙，它的光瞳函數均勻假設是寫死在底層算法里的，就像被固定的框架一樣，要想修改這個前提，就得推翻整個仿真流程重寫。
我們也嘗試過簡化模型適配，但是始終沒法精準匹配實測數據，最後只能不了了之了。」
一旁的羅華連連點頭，開口道：
「沒錯，之前我們在CODE V和Zemax里做仿真的時候，光瞳函數的均勻假設是一個黑盒，根本沒辦法修改。
想要分析非均勻光瞳對後面鏡組的影響，就只能自己從底層搭模型。
我們嘗試搭過一版，不過，數學上太複雜了，光瞳函數的非均勻分布是一個空間頻率的函數，第三組透鏡的裝調響應是一個多自由度的非線性映射，這兩樣東西耦合在一起，我們當時的數學工具根本解不動。」
羅華話音一落，周圍幾個研究員都不由自主地點起了頭，臉上滿是感同身受的無奈，顯然被這個難題折磨了太久。
負責仿真的那個工程師率先開口說到：
「羅老師說的這個耦合，我們跑仿真的時候感觸太深了。
光瞳函數一加上非均勻調製，整個模型的自由度直接就爆炸了。
我們試過用有限元去逼近，網格加密到伺服器內存吃光了都跑不出收斂的結果，好幾次都熬到後半夜，最後還是一場空。」
旁邊負責測試的工程師也苦笑著搖了搖頭，接話道：
「不止是仿真，我們測試這邊也是一樣的。
每次裝調完測出來的波像差分布，和仿真結果之間的偏差都忽大忽小，根本沒有規律可循，連個穩定的誤差模型都建立不起來。
沒有穩定的誤差模型，裝調就只能全憑經驗，調得好不好一半靠手感，另一半全看運氣了。」
站在後邊的一個年輕研究員也忍不住小聲補了一句：
「而且還不敢隨便動底層假設，那就是個黑盒子，你動了它的光瞳函數前提，它就徹底跑不對了。
不動吧，又眼看著實測數據和仿真結果對不上，怎麼調都擰巴。
反正就是兩頭都走不通，卡在中間太難受了。」
眾人你一言我一語的，倒出了心裡的苦水，看得出來，這個難題確實困住他們太久，耗費了不少心血了。
肖宿靜靜地站在一旁，目光淡淡掃過在場眾人，將他們的無奈與不甘盡收眼底，心裡倒沒覺得這東西有什麼複雜的。
在他看來，羅華說的光瞳函數非均勻調製和透鏡裝調響應非線性映射，數學上無非就是一個多變量耦合系統的優化問題而已。
光瞳函數的空間頻率分布可以展開成一組正交基，透鏡的裝調自由度對應著另一個向量空間，而兩者之間的耦合關係無非就一個非線性算子。
只要把兩個空間拉到一個更高維的乘積流形上，耦合算子就變成了這個流形上的一個截面，而他們要找的最優裝調參數，就變成蹭了在這個截面上找一個點，讓波前誤差的某個泛函達到最小值。
這個結構和他之前做譜域對消時處理的超表面陣列優化問題本質上是一回事，甚至還要更簡單一些。
因為光刻物鏡的鏡片數量是有限的，自由度的維度遠小於超表面上動輒上百萬個納米天線。
他幾乎是在他們說完的瞬間，就在腦子裡搭建起了一個適配的數學模型。
簡單計算後，確定可行了，他才開口說道：
「這個數學結構其實並不複雜。」
說完，肖宿不顧眾人震驚的表情，在電腦前坐下，打開了一個空白的文檔窗口。
屏幕上光標一閃一閃的，快速跳動起來。
「只要先把實測光瞳函數和設計光瞳函數的偏差做個正交分解，再把這些偏差拆成低階模式和高階模式兩個部分就行。」
他指尖在鍵盤上快速跳動，屏幕上很快出現一個初步的推導公式。
「低階模式對應的就是折反射鏡的幾何參數偏差，這部分可以不用動鏡片，靠調整空間濾波器的參數就能補償回來，這樣可以節省很多時間。」
他的目光掃過屏幕上的參數範圍，想了想，又補充道：
「至於高階模式，那是折反射鏡曲率局部不規則導致的，這部分得動第二組透鏡組的鏡片參數，但調整範圍不能太大，要控制在合理邊界內，不然反而會引入新的偏差。」
說著，他又敲下一連串推導，屏幕上逐行跳出來的內容，包括低階模式補償係數的提取範圍、空間濾波器參數的調整邊界、高階模式修正時第二組透鏡組曲率半徑的可調區間，還有每一步推導的簡短注釋，條理清晰得讓人一目了然。
等寫完這部分，他才接著說道：
「處理完光瞳函數的偏差之後，可以把第三組透鏡組的裝調響應函數，看成是辛流形上的哈密頓系統。」
「這麼一來，想要把波像差調到最佳狀態，只需要在辛流形中求出哈密頓量的極小值就可以了。
根本沒必要在實空間裡強行求解複雜的高維非線性方程組，這樣做太費時費力。
藉助譜域對消的思路，在模式空間內逐層完成擬合逼近，不僅運算效率更高，最終得出的結果也會更加精準。」
「肖教授，其實這陣子，我和小羅還有團隊裡的人，也一直在琢磨問題到底出在哪了。
之前我們發現光瞳函數的實測結果，總跟設計時的均勻假設對不上，就反覆排查過鏡片加工精度、裝調手法，甚至調整過折反射鏡的對位關係，可就是找不到根源。」
「後來我們也隱隱懷疑過，會不會是折反射鏡在摺疊光路時，引入了光瞳函數的非均勻調製，畢竟折反射鏡的幾何特性，本來就很容易對光瞳的能量分布產生影響，這和我們之前研究光瞳整形技術時遇到的問題有幾分相似。
可是，懷疑歸懷疑，我們手裡一直缺一套能把這份懷疑變成定量分析的工具，沒法用具體數據去佐證這個猜想。」
說到這兒，陳雲邦眉頭微蹙，語氣有些沉重：「傳統的光學設計軟體在這個問題上根本幫不上忙，它的光瞳函數均勻假設是寫死在底層算法里的，就像被固定的框架一樣，要想修改這個前提，就得推翻整個仿真流程重寫。
我們也嘗試過簡化模型適配，但是始終沒法精準匹配實測數據，最後只能不了了之了。」
一旁的羅華連連點頭，開口道：
「沒錯，之前我們在CODE V和Zemax里做仿真的時候，光瞳函數的均勻假設是一個黑盒，根本沒辦法修改。
想要分析非均勻光瞳對後面鏡組的影響，就只能自己從底層搭模型。
我們嘗試搭過一版，不過，數學上太複雜了，光瞳函數的非均勻分布是一個空間頻率的函數，第三組透鏡的裝調響應是一個多自由度的非線性映射，這兩樣東西耦合在一起，我們當時的數學工具根本解不動。」
羅華話音一落，周圍幾個研究員都不由自主地點起了頭，臉上滿是感同身受的無奈，顯然被這個難題折磨了太久。
負責仿真的那個工程師率先開口說到：
「羅老師說的這個耦合，我們跑仿真的時候感觸太深了。
光瞳函數一加上非均勻調製，整個模型的自由度直接就爆炸了。
我們試過用有限元去逼近，網格加密到伺服器內存吃光了都跑不出收斂的結果，好幾次都熬到後半夜，最後還是一場空。」
旁邊負責測試的工程師也苦笑著搖了搖頭，接話道：
「不止是仿真，我們測試這邊也是一樣的。
每次裝調完測出來的波像差分布，和仿真結果之間的偏差都忽大忽小，根本沒有規律可循，連個穩定的誤差模型都建立不起來。
沒有穩定的誤差模型，裝調就只能全憑經驗，調得好不好一半靠手感，另一半全看運氣了。」
站在後邊的一個年輕研究員也忍不住小聲補了一句：
「而且還不敢隨便動底層假設，那就是個黑盒子，你動了它的光瞳函數前提，它就徹底跑不對了。
不動吧，又眼看著實測數據和仿真結果對不上，怎麼調都擰巴。
反正就是兩頭都走不通，卡在中間太難受了。」
眾人你一言我一語的，倒出了心裡的苦水，看得出來，這個難題確實困住他們太久，耗費了不少心血了。
肖宿靜靜地站在一旁，目光淡淡掃過在場眾人，將他們的無奈與不甘盡收眼底，心裡倒沒覺得這東西有什麼複雜的。
在他看來，羅華說的光瞳函數非均勻調製和透鏡裝調響應非線性映射，數學上無非就是一個多變量耦合系統的優化問題而已。
光瞳函數的空間頻率分布可以展開成一組正交基，透鏡的裝調自由度對應著另一個向量空間，而兩者之間的耦合關係無非就一個非線性算子。
只要把兩個空間拉到一個更高維的乘積流形上，耦合算子就變成了這個流形上的一個截面，而他們要找的最優裝調參數，就變成蹭了在這個截面上找一個點，讓波前誤差的某個泛函達到最小值。
這個結構和他之前做譜域對消時處理的超表面陣列優化問題本質上是一回事，甚至還要更簡單一些。
因為光刻物鏡的鏡片數量是有限的，自由度的維度遠小於超表面上動輒上百萬個納米天線。
他幾乎是在他們說完的瞬間，就在腦子裡搭建起了一個適配的數學模型。
簡單計算後，確定可行了，他才開口說道：
「這個數學結構其實並不複雜。」
說完，肖宿不顧眾人震驚的表情，在電腦前坐下，打開了一個空白的文檔窗口。
屏幕上光標一閃一閃的，快速跳動起來。
「只要先把實測光瞳函數和設計光瞳函數的偏差做個正交分解，再把這些偏差拆成低階模式和高階模式兩個部分就行。」
他指尖在鍵盤上快速跳動，屏幕上很快出現一個初步的推導公式。
「低階模式對應的就是折反射鏡的幾何參數偏差，這部分可以不用動鏡片，靠調整空間濾波器的參數就能補償回來，這樣可以節省很多時間。」
他的目光掃過屏幕上的參數範圍，想了想，又補充道：
「至於高階模式，那是折反射鏡曲率局部不規則導致的，這部分得動第二組透鏡組的鏡片參數，但調整範圍不能太大，要控制在合理邊界內，不然反而會引入新的偏差。」
說著，他又敲下一連串推導，屏幕上逐行跳出來的內容，包括低階模式補償係數的提取範圍、空間濾波器參數的調整邊界、高階模式修正時第二組透鏡組曲率半徑的可調區間，還有每一步推導的簡短注釋，條理清晰得讓人一目了然。
等寫完這部分，他才接著說道：
「處理完光瞳函數的偏差之後，可以把第三組透鏡組的裝調響應函數，看成是辛流形上的哈密頓系統。」
「這麼一來，想要把波像差調到最佳狀態，只需要在辛流形中求出哈密頓量的極小值就可以了。
根本沒必要在實空間裡強行求解複雜的高維非線性方程組，這樣做太費時費力。
藉助譜域對消的思路，在模式空間內逐層完成擬合逼近，不僅運算效率更高，最終得出的結果也會更加精準。」