第50章 二十分鐘搞定二試，這速度實在太不可思議了啊！
【第三題（45分）】
【設f:ℕ→ℕ是嚴格遞增函數，滿足f(1)=1且對任意正整數n，有f(f(n))=f(n)+n。求f(n)的表達式。】
江辰掃了一眼。
「函數方程題，經典題型。」
他幾乎沒思考，直接寫：
「解：先求前幾項。由f(1)=1，代入n=1得f(f(1))=f(1)+1，即f(1)=1+1=2，矛盾？因為f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右邊f(1)+1=2，1=2矛盾？」
江辰愣住了。
「題目出錯了？」
他重新讀題：「f:ℕ→ℕ是嚴格遞增函數，滿足f(1)=1且對任意正整數n，有f(f(n))=f(n)+n。」
代入n=1：f(f(1))=f(1)+1 → f(1)=1+1=2，但f(1)=1，矛盾。
「這……」
江辰皺眉。
三秒後，他明白了。
「哦，f(1)=1，但f(f(1))=f(1)嗎？不，f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右邊應該是1+1=2，確實矛盾。」
「除非……題目中的ℕ是正整數，但可能包含0？或者f(1)=1是初始條件，但函數方程對n≥2成立？」
他繼續往下想。
「先假設題目沒錯，那麼矛盾說明我的推理有問題。f(f(n))=f(n)+n，當n=1時，f(f(1))=f(1)+1=2，所以f(f(1))=2。」
「而f(1)=1，所以f(1)=1，那麼f(f(1))=f(1)=1，但需要等於2，所以必須f(1)≠1？可題目明確說了f(1)=1。」
江辰感覺腦子有點亂。
「這題……有問題？」
他決定先跳過，看第四題。
【第四題（45分）】
【設p是奇素數，a₁,a₂,…,a_p是整數。證明：存在整數k（1≤k≤p）使得∑_{i=1}^p (a_{i+k} - a_i)²能被p²整除，這裡下標模p理解（即a_{p+1}=a_1等）。】
江辰看完，眼睛一亮。
「數論組合題，有點意思。」
「∑(a_{i+k}-a_i)² = ∑a_{i+k}² - 2∑a_{i+k}a_i + ∑a_i² = 2∑a_i² - 2∑a_{i+k}a_i，因為∑a_{i+k}²=∑a_i²。」
「所以要證存在k使2∑a_i² - 2∑a_{i+k}a_i ≡ 0 mod p²，即∑a_i² ≡ ∑a_{i+k}a_i mod p²/2？不對，模p²。」
「即證存在k使∑a_{i+k}a_i ≡ ∑a_i² mod p²。」
「記S_k = ∑a_i a_{i+k}，要證存在k使S_k ≡ S_0 mod p²，其中S_0=∑a_i²。」
「這等價於證存在k使S_k - S_0 ≡ 0 mod p²。」
「考慮所有k的S_k之和？或者用多項式方法……」
江辰腦子飛速轉動。
十秒後，他有了思路。
「用傅立葉變換（離散傅立葉變換）。」
「設A(x)=∑a_i x^i（多項式），則S_k是A(x)A(x^{-1})中x^k項的係數？不對，循環卷積。」
「實際上，S_k = ∑a_i a_{i+k}是序列{a_i}的自相關函數。」
「要證存在k使S_k ≡ S_0 mod p²。如果所有S_k ≡ S_0 mod p²都不成立，那麼所有S_k - S_0 ≡ 0 mod p²都不成立……」
「用反證法：假設對所有k都有S_k ≢ S_0 mod p²，則S_k - S_0 ≡ r_k mod p²，其中r_k是1到p²-1之間的數。」
「考慮∑_{k=1}^p (S_k - S_0) = ∑_k ∑_i a_i(a_{i+k}-a_i) = ……」
江辰在草稿紙上快速計算。
兩分鐘後，他找到了關鍵等式。
「有了！∑_{k=1}^p S_k = p∑a_i²，所以∑_{k=1}^p (S_k - S_0) = p∑a_i² - p∑a_i² = 0。」
「但如果每個S_k - S_0都不被p²整除，它們的和模p²不可能為0，矛盾。」
「所以存在k使p²整除S_k - S_0。」
「嚴謹化：設b_i = a_i mod p，考慮模p下的序列{b_i}，用類似論證可得存在k使∑b_i b_{i+k} ≡ ∑b_i² mod p，然後提升到模p²……」
四分鐘，第四題搞定。
江辰看了眼時間：9:50。
第四題做完，還剩第三題。
他回過頭看第三題。
「函數方程f(f(n))=f(n)+n，f嚴格遞增，f(1)=1。」
「代入n=1得f(1)=2，矛盾。所以要麼題目錯了，要麼我的理解錯了。」
江辰想了想，突然靈光一閃。
「等等，f是ℕ→ℕ，ℕ通常指正整數，但有時也包含0。如果包含0，那麼f(0)可能存在。」
「設f(0)=c，則f(f(0))=f(c)=f(0)+0=c，所以f(c)=c。」
「由f嚴格遞增，f(0)=c，f(1)=1，如果c＜1，則f(0)＜f(1)，但0＜1，可以。c必須是整數，所以c=0。」
「那麼f(0)=0，f(1)=1，代入n=1：f(f(1))=f(1)+1=2，所以f(1)=2？但f(1)=1，矛盾。」
「還是矛盾。」
江辰皺眉。
「除非……f(1)不是1？但題目明確說了f(1)=1。」
他決定換個思路。
「假設f(1)=1，那麼f(f(1))=f(1)=1，但方程要求f(f(1))=f(1)+1=2，矛盾。」
「所以題目一定有印刷錯誤？或者ℕ是自然數集包括0，且f(0)=1？」
「設f(0)=1，那麼f(1)是多少？由嚴格遞增，f(1)＞f(0)=1。」
「代入n=0：f(f(0))=f(1)=f(0)+0=1，所以f(1)=1，但f(1)＞1，矛盾。」
「也不行。」
江辰感覺這題像個死胡同。
他看了眼時間，9:52。
「算了，先按標準方法解，假設f(1)=1成立，忽略n=1的矛盾。」
「令g(n)=f(n)-n，則方程變為f(f(n))=f(n)+n → f(n+g(n))=n+g(n)+g(n)=n+2g(n)。」
「但f(n+g(n))又等於f(f(n))=f(n)+n=n+2g(n)，自洽。」
「由嚴格遞增，g(n)非負且遞增？不一定。」
「嘗試求前幾項：設f(1)=1，則f(f(1))=f(1)=1，但方程要求等於2，所以矛盾。跳過n=1。」
「從n=2開始：f(f(2))=f(2)+2，設f(2)=a，則f(a)=a+2。」
「由嚴格遞增，f(1)=1＜f(2)=a，所以a≥2。」
「f(3)=b，則f(b)=b+3，且b＞a≥2。」
「繼續推導……」
江辰在草稿紙上列出一串等式。
兩分鐘後，他猜出了答案。
「f(n) = φn + ψ，其中φ是黃金比例(1+√5)/2？不對，必須是整數函數。」
「實際上，經典解是f(n)=⌊φn⌋或類似形式，但需要驗證。」
他快速驗證了一下。
「設φ=(1+√5)/2≈1.618，則φ²=φ+1。」
「如果f(n)=⌊φn⌋，則f(f(n))=⌊φ⌊φn⌋⌋≈φ²n=φn+n=f(n)+n，近似成立。」
「但嚴格成立需要數論性質，這是經典的Beatty序列。」
江辰決定直接寫答案：
「解：f(n)=⌊φn⌋，其中φ=(1+√5)/2，且n≥1時成立。驗證：由Beatty定理，⌊φ⌊φn⌋⌋=⌊φ²n⌋=⌊(φ+1)n⌋=⌊φn+n⌋=⌊φn⌋+n=f(n)+n，當φn不是整數時成立，而φ是無理數，φn永不為整數，故等式成立。」
「但需要驗證嚴格遞增：顯然。」
「f(1)=⌊φ⌋=1，滿足。」
寫完，江辰鬆了口氣。
「這題真他媽繞。」
看了眼時間：9:55。
四道題，十五分鐘搞定。
這時候交卷，會不會太早了些？
且閱卷老師看了，會不會不夠驚艷？
不行，還得露一手。
江辰沒有立馬交卷，而是又將目光投向最後一道壓軸題。
「這題，解法有很多，剛才只是用了最常見的一種！」
「還有第二種……」
「第三種……」
五分鐘後。
10:00整。
他舉手。
「老師，交卷。」
……
考場裡一片寂靜。
所有人抬起頭，看著江辰，眼神複雜。
有驚訝，有疑惑，更多的是……不屑。
「又交卷？」
「二十分鐘，他能做什麼？」
「估計是一道都不會，乾脆放棄了。」
「浪費名額，真是……」
秦墨坐在第一排，抬頭看了江辰一眼，眼神冷淡。
他剛剛做完第一題，正在做第二題。
二十分鐘，江辰交卷？
除了放棄，他想不出別的可能。
「看來，之前高看他了。」
秦墨心裡冷笑，「月考滿分又怎樣？競賽是另一個世界。」
他低下頭，繼續做題。
……
劉月老師接過江辰的試卷，手都在抖。
她快速掃了一眼。
第一題，全對。
第二題，全對，解法比標準答案更優。
第三題，雖然一開始有疑惑，但最後給出了正確解。
第四題，全對，用了傅立葉變換和模運算，思路驚艷。
且還有第二種解法，第三種解法……
而且……四道題，二十分鐘。
「同……同學，」劉月聲音發顫，「你……你真的要交卷了？」
「嗯。」江辰點頭，「可以走了嗎？」
「可……可以。」
江辰轉身離開。
劉月看著他的背影，又看了看試卷，感覺自己像是在做夢。
……
考場外。
周大鵬看到江辰出來，眼珠子都快瞪出來了。
「江辰？你……你怎麼又出來了？」
「做完了。」江辰說。
「二十分鐘？做完了？」周大鵬聲音都變了，「江辰，這可是二試！四道大題，180分！」
「知道啊。」江辰一臉無辜，「題不難，就做快了點。」
周大鵬張了張嘴，半天沒說出話。
旁邊，江城一中的王老師和二中的李老師對視一眼，都笑了。
「周老師，你們這學生……挺有個性啊。」王老師陰陽怪氣。
「二十分鐘交卷，這速度……怕是連題目都沒看完吧？」李老師也嘲諷。
周大鵬臉色難看，但沒反駁。
他心裡也在打鼓。
江辰……該不會真的沒做完吧？
「江辰，」周大鵬把江辰拉到一邊，壓低聲音，「你跟老師說實話，你真的做完了？還是……不會做，放棄了？」
「做完了。」江辰說，「周老師，您不信我？」
「不是不信……」周大鵬苦笑，「只是這速度……太誇張了。」
「放心，」江辰拍拍周大鵬的肩膀，「等成績出來，您就知道了。」
說完，他轉身回酒店了。
周大鵬站在原地，心情複雜。
他既希望江辰說的是真的，又覺得這太不可思議。
……
時間一分一秒過去。
考場裡，考生們還在苦戰。
秦墨做完第二題，看了眼時間：10:50。
已經過去70分鐘了。
他擦了擦額頭的汗。
這次二試的難度……遠超他的預期。
尤其是第三題和第四題，他到現在還沒思路。
「不管了，先保證前兩題全對。」秦墨深吸一口氣，開始檢查。
而此刻，江辰已經在酒店房間裡，悠閒地刷著手機。
系統提示音時不時響起。
【叮！收到驚艷值+20！】
【叮！收到驚艷值+30！】
光監考老師一人，就給他貢獻了不少驚艷值。
「這才剛開始，」江辰嘴角上揚，「等成績出來……那才叫炸場。」
……
【設f:ℕ→ℕ是嚴格遞增函數，滿足f(1)=1且對任意正整數n，有f(f(n))=f(n)+n。求f(n)的表達式。】
江辰掃了一眼。
「函數方程題，經典題型。」
他幾乎沒思考，直接寫：
「解：先求前幾項。由f(1)=1，代入n=1得f(f(1))=f(1)+1，即f(1)=1+1=2，矛盾？因為f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右邊f(1)+1=2，1=2矛盾？」
江辰愣住了。
「題目出錯了？」
他重新讀題：「f:ℕ→ℕ是嚴格遞增函數，滿足f(1)=1且對任意正整數n，有f(f(n))=f(n)+n。」
代入n=1：f(f(1))=f(1)+1 → f(1)=1+1=2，但f(1)=1，矛盾。
「這……」
江辰皺眉。
三秒後，他明白了。
「哦，f(1)=1，但f(f(1))=f(1)嗎？不，f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右邊應該是1+1=2，確實矛盾。」
「除非……題目中的ℕ是正整數，但可能包含0？或者f(1)=1是初始條件，但函數方程對n≥2成立？」
他繼續往下想。
「先假設題目沒錯，那麼矛盾說明我的推理有問題。f(f(n))=f(n)+n，當n=1時，f(f(1))=f(1)+1=2，所以f(f(1))=2。」
「而f(1)=1，所以f(1)=1，那麼f(f(1))=f(1)=1，但需要等於2，所以必須f(1)≠1？可題目明確說了f(1)=1。」
江辰感覺腦子有點亂。
「這題……有問題？」
他決定先跳過，看第四題。
【第四題（45分）】
【設p是奇素數，a₁,a₂,…,a_p是整數。證明：存在整數k（1≤k≤p）使得∑_{i=1}^p (a_{i+k} - a_i)²能被p²整除，這裡下標模p理解（即a_{p+1}=a_1等）。】
江辰看完，眼睛一亮。
「數論組合題，有點意思。」
「∑(a_{i+k}-a_i)² = ∑a_{i+k}² - 2∑a_{i+k}a_i + ∑a_i² = 2∑a_i² - 2∑a_{i+k}a_i，因為∑a_{i+k}²=∑a_i²。」
「所以要證存在k使2∑a_i² - 2∑a_{i+k}a_i ≡ 0 mod p²，即∑a_i² ≡ ∑a_{i+k}a_i mod p²/2？不對，模p²。」
「即證存在k使∑a_{i+k}a_i ≡ ∑a_i² mod p²。」
「記S_k = ∑a_i a_{i+k}，要證存在k使S_k ≡ S_0 mod p²，其中S_0=∑a_i²。」
「這等價於證存在k使S_k - S_0 ≡ 0 mod p²。」
「考慮所有k的S_k之和？或者用多項式方法……」
江辰腦子飛速轉動。
十秒後，他有了思路。
「用傅立葉變換（離散傅立葉變換）。」
「設A(x)=∑a_i x^i（多項式），則S_k是A(x)A(x^{-1})中x^k項的係數？不對，循環卷積。」
「實際上，S_k = ∑a_i a_{i+k}是序列{a_i}的自相關函數。」
「要證存在k使S_k ≡ S_0 mod p²。如果所有S_k ≡ S_0 mod p²都不成立，那麼所有S_k - S_0 ≡ 0 mod p²都不成立……」
「用反證法：假設對所有k都有S_k ≢ S_0 mod p²，則S_k - S_0 ≡ r_k mod p²，其中r_k是1到p²-1之間的數。」
「考慮∑_{k=1}^p (S_k - S_0) = ∑_k ∑_i a_i(a_{i+k}-a_i) = ……」
江辰在草稿紙上快速計算。
兩分鐘後，他找到了關鍵等式。
「有了！∑_{k=1}^p S_k = p∑a_i²，所以∑_{k=1}^p (S_k - S_0) = p∑a_i² - p∑a_i² = 0。」
「但如果每個S_k - S_0都不被p²整除，它們的和模p²不可能為0，矛盾。」
「所以存在k使p²整除S_k - S_0。」
「嚴謹化：設b_i = a_i mod p，考慮模p下的序列{b_i}，用類似論證可得存在k使∑b_i b_{i+k} ≡ ∑b_i² mod p，然後提升到模p²……」
四分鐘，第四題搞定。
江辰看了眼時間：9:50。
第四題做完，還剩第三題。
他回過頭看第三題。
「函數方程f(f(n))=f(n)+n，f嚴格遞增，f(1)=1。」
「代入n=1得f(1)=2，矛盾。所以要麼題目錯了，要麼我的理解錯了。」
江辰想了想，突然靈光一閃。
「等等，f是ℕ→ℕ，ℕ通常指正整數，但有時也包含0。如果包含0，那麼f(0)可能存在。」
「設f(0)=c，則f(f(0))=f(c)=f(0)+0=c，所以f(c)=c。」
「由f嚴格遞增，f(0)=c，f(1)=1，如果c＜1，則f(0)＜f(1)，但0＜1，可以。c必須是整數，所以c=0。」
「那麼f(0)=0，f(1)=1，代入n=1：f(f(1))=f(1)+1=2，所以f(1)=2？但f(1)=1，矛盾。」
「還是矛盾。」
江辰皺眉。
「除非……f(1)不是1？但題目明確說了f(1)=1。」
他決定換個思路。
「假設f(1)=1，那麼f(f(1))=f(1)=1，但方程要求f(f(1))=f(1)+1=2，矛盾。」
「所以題目一定有印刷錯誤？或者ℕ是自然數集包括0，且f(0)=1？」
「設f(0)=1，那麼f(1)是多少？由嚴格遞增，f(1)＞f(0)=1。」
「代入n=0：f(f(0))=f(1)=f(0)+0=1，所以f(1)=1，但f(1)＞1，矛盾。」
「也不行。」
江辰感覺這題像個死胡同。
他看了眼時間，9:52。
「算了，先按標準方法解，假設f(1)=1成立，忽略n=1的矛盾。」
「令g(n)=f(n)-n，則方程變為f(f(n))=f(n)+n → f(n+g(n))=n+g(n)+g(n)=n+2g(n)。」
「但f(n+g(n))又等於f(f(n))=f(n)+n=n+2g(n)，自洽。」
「由嚴格遞增，g(n)非負且遞增？不一定。」
「嘗試求前幾項：設f(1)=1，則f(f(1))=f(1)=1，但方程要求等於2，所以矛盾。跳過n=1。」
「從n=2開始：f(f(2))=f(2)+2，設f(2)=a，則f(a)=a+2。」
「由嚴格遞增，f(1)=1＜f(2)=a，所以a≥2。」
「f(3)=b，則f(b)=b+3，且b＞a≥2。」
「繼續推導……」
江辰在草稿紙上列出一串等式。
兩分鐘後，他猜出了答案。
「f(n) = φn + ψ，其中φ是黃金比例(1+√5)/2？不對，必須是整數函數。」
「實際上，經典解是f(n)=⌊φn⌋或類似形式，但需要驗證。」
他快速驗證了一下。
「設φ=(1+√5)/2≈1.618，則φ²=φ+1。」
「如果f(n)=⌊φn⌋，則f(f(n))=⌊φ⌊φn⌋⌋≈φ²n=φn+n=f(n)+n，近似成立。」
「但嚴格成立需要數論性質，這是經典的Beatty序列。」
江辰決定直接寫答案：
「解：f(n)=⌊φn⌋，其中φ=(1+√5)/2，且n≥1時成立。驗證：由Beatty定理，⌊φ⌊φn⌋⌋=⌊φ²n⌋=⌊(φ+1)n⌋=⌊φn+n⌋=⌊φn⌋+n=f(n)+n，當φn不是整數時成立，而φ是無理數，φn永不為整數，故等式成立。」
「但需要驗證嚴格遞增：顯然。」
「f(1)=⌊φ⌋=1，滿足。」
寫完，江辰鬆了口氣。
「這題真他媽繞。」
看了眼時間：9:55。
四道題，十五分鐘搞定。
這時候交卷，會不會太早了些？
且閱卷老師看了，會不會不夠驚艷？
不行，還得露一手。
江辰沒有立馬交卷，而是又將目光投向最後一道壓軸題。
「這題，解法有很多，剛才只是用了最常見的一種！」
「還有第二種……」
「第三種……」
五分鐘後。
10:00整。
他舉手。
「老師，交卷。」
……
考場裡一片寂靜。
所有人抬起頭，看著江辰，眼神複雜。
有驚訝，有疑惑，更多的是……不屑。
「又交卷？」
「二十分鐘，他能做什麼？」
「估計是一道都不會，乾脆放棄了。」
「浪費名額，真是……」
秦墨坐在第一排，抬頭看了江辰一眼，眼神冷淡。
他剛剛做完第一題，正在做第二題。
二十分鐘，江辰交卷？
除了放棄，他想不出別的可能。
「看來，之前高看他了。」
秦墨心裡冷笑，「月考滿分又怎樣？競賽是另一個世界。」
他低下頭，繼續做題。
……
劉月老師接過江辰的試卷，手都在抖。
她快速掃了一眼。
第一題，全對。
第二題，全對，解法比標準答案更優。
第三題，雖然一開始有疑惑，但最後給出了正確解。
第四題，全對，用了傅立葉變換和模運算，思路驚艷。
且還有第二種解法，第三種解法……
而且……四道題，二十分鐘。
「同……同學，」劉月聲音發顫，「你……你真的要交卷了？」
「嗯。」江辰點頭，「可以走了嗎？」
「可……可以。」
江辰轉身離開。
劉月看著他的背影，又看了看試卷，感覺自己像是在做夢。
……
考場外。
周大鵬看到江辰出來，眼珠子都快瞪出來了。
「江辰？你……你怎麼又出來了？」
「做完了。」江辰說。
「二十分鐘？做完了？」周大鵬聲音都變了，「江辰，這可是二試！四道大題，180分！」
「知道啊。」江辰一臉無辜，「題不難，就做快了點。」
周大鵬張了張嘴，半天沒說出話。
旁邊，江城一中的王老師和二中的李老師對視一眼，都笑了。
「周老師，你們這學生……挺有個性啊。」王老師陰陽怪氣。
「二十分鐘交卷，這速度……怕是連題目都沒看完吧？」李老師也嘲諷。
周大鵬臉色難看，但沒反駁。
他心裡也在打鼓。
江辰……該不會真的沒做完吧？
「江辰，」周大鵬把江辰拉到一邊，壓低聲音，「你跟老師說實話，你真的做完了？還是……不會做，放棄了？」
「做完了。」江辰說，「周老師，您不信我？」
「不是不信……」周大鵬苦笑，「只是這速度……太誇張了。」
「放心，」江辰拍拍周大鵬的肩膀，「等成績出來，您就知道了。」
說完，他轉身回酒店了。
周大鵬站在原地，心情複雜。
他既希望江辰說的是真的，又覺得這太不可思議。
……
時間一分一秒過去。
考場裡，考生們還在苦戰。
秦墨做完第二題，看了眼時間：10:50。
已經過去70分鐘了。
他擦了擦額頭的汗。
這次二試的難度……遠超他的預期。
尤其是第三題和第四題，他到現在還沒思路。
「不管了，先保證前兩題全對。」秦墨深吸一口氣，開始檢查。
而此刻，江辰已經在酒店房間裡，悠閒地刷著手機。
系統提示音時不時響起。
【叮！收到驚艷值+20！】
【叮！收到驚艷值+30！】
光監考老師一人，就給他貢獻了不少驚艷值。
「這才剛開始，」江辰嘴角上揚，「等成績出來……那才叫炸場。」
……