第十九章 圖像處理中的變分模型
沈妍聽到陳林的調侃也沒有生氣，反而是臉頰微微紅了一下，但是很快就恢復了平靜。
她從包里拿出手機，手指在屏幕上輕點幾下，然後抬頭看向陳林：「我給你傳了個文件。「
陳林的手機震動了一下，他點開微信，看到沈妍發來的PDF文件。
打開一看，是沈妍自己學習研究課題時記的筆記，標題是《圖像處理中的變分模型》。
密密麻麻的公式和推導，工整的字跡，還有不同顏色標註的重點。
陳林心裡暗暗感嘆，不愧是學霸，光看這筆記的認真程度，就知道人家平時是怎麼學習的了。
不過，沒有具體的數學問題需要解決的時候，陳林看這些內容也沒啥特別的感覺。
「小小數學家「的能力雖然強大，但也需要有明確的問題才能發揮作用。
不過陳林懂套路啊。
他不動聲色地翻了幾頁，然後抬起頭，用一種高深莫測的眼神看向沈妍，微微挑了挑眉毛。
那意思很明顯：所以呢？你想問什麼？
沈妍被他這副裝模作樣的表情逗得差點笑出聲，但還是忍住了。
她打開自己的筆記本電腦，調出同一個文件，熟練地翻到某一頁。
「是這樣的，「她一邊操作一邊解釋道，「上次你幫我看完那個建模競賽的新算法後，我給顧教授也過目了，他對我的表現很滿意。「
陳林點點頭，心想這不是理所當然的嘛。
「然後顧教授給了我這個圖像處理中的變分模型的研究方向，讓我在下學期開始前先自學相關的基礎知識。「沈妍繼續說道，「有幾塊內容不太理解，比較重要的是泛函分析部分的知識。「
她將電腦屏幕轉向陳林，指著上面的內容：「這幾塊我反覆看了好多遍，還是不太能理解。「
陳林順著她的手指看去，只見屏幕上赫然寫著幾個專業術語：
「Sobolev空間理論「
「Banach空間微積分「
「變分原理（極小化序列、Palais-Smale條件）「
看到這些名詞，陳林心裡有點犯愁。
這些都是知識點沒錯，但問題是，如果沒有具體的數學題目，「小小數學家「的能力也無從發揮啊。
「這些內容，「沈妍有些苦惱地說，「本來應該是下學期才會學的。我已經提前自學了一段時間，但還是有很多地方理解不透。「
陳林想了想，試探性地問道：「有沒有相關的習題？我覺得通過解題來理解知識點，可能會更直觀一些。「
沈妍眼睛一亮，仿佛遇到了知音：「我也是這麼想的！「
她趕緊在電腦上翻找起來：「我在網上找了一些相關的題目，正好涵蓋了這三部分的知識。我本來做起來就很吃力，正好給你講解用。「
陳林心裡暗暗鬆了口氣。
有題目就好辦了，這下「小小數學家「終於有用武之地了。
很快，沈妍找到了題目文件，推到陳林面前：「你看，這些題目難度都不小。「
陳林定睛一看，第一題：
【設定義域Ω=(-1，1)⊂ℝ，給定函數 u(x)=|x|。
任務：
(a)驗證 u∈ L²(Ω)，並求出其弱導數 u'∈ L¹_loc(Ω)。
(b)對任意測試函數φ∈ C_c^∞(Ω)，驗證等式：∫Ω uφ' dx =-∫Ω u'φ dx成立。】
第二題：
【設{u_n}⊂ W^{1，p}(Ω)是柯西序列（其中 1 < p <∞），即滿足：
當 m，n→∞時，||u_m - u_n||{W^{1，p}}→ 0。
證明：存在函數 u∈ W^{1，p}(Ω)，使得序列在 W^{1，p}範數下收斂於 u，即：
當 n→∞時，||u_n - u||{W^{1，p}}→ 0】
陳林快速瀏覽了一遍所有題目，發現數量還真不少。
他轉頭對沈妍說：「題目挺多的，一下午肯定做不完。要不這樣，我們三塊知識各挑幾道典型的題目，邊做邊講解？「
「好的。「沈妍點點頭，顯然早有心理準備。
陳林起身，很自然地坐到了沈妍旁邊的位置上。
兩人之間的距離瞬間拉近，陳林甚至能聞到她身上淡淡的清香味。
他從背包里拿出草稿本和筆。
「小小數學家「，被動觸發！
瞬間，那種熟悉的感覺湧上心頭。
數學知識在腦子裡自動匯聚編排，自然形成一行行答案。
「我們從第一題開始。「陳林拿起筆，在草稿紙上寫下題號。
「第一題的a小題，要驗證函數屬於L²空間，關鍵是計算它的L²範數。「
他一邊說，一邊在紙上寫了起來：
「第一步：計算 u的 L²範數
||u||{L²(Ω)}²=∫{-1}^{1}|x|² dx「
沈妍認真地看著他的推導，不時點頭。
「注意這裡，「陳林用筆尖點了點紙面，「因為|x|是偶函數，所以我們可以利用對稱性簡化計算。「
「||u||{L²(Ω)}²
=∫{-1}^{1}|x|² dx
= 2∫{0}^{1} x² dx
= 2 *[x³/3]{0}^{1}
= 2*(1/3)= 2/3 <∞「
「所以，u∈ L²(Ω)。「
沈妍若有所思地點點頭：「原來驗證函數屬於L²空間，就是要證明它的L²範數是有限的。「
「沒錯。「陳林繼續寫道，「接下來要求弱導數，這個稍微複雜一點。「
他在紙上畫了一個簡單的圖，展示|x|函數的形狀。
「你看，|x|在x=0處不可導，所以我們不能用普通的導數概念。這時候就需要用到弱導數的定義。「
陳林開始詳細推導，筆尖在紙上飛快移動：
「設 v(x)= sign(x)={-1， x<0; 1， x>0}「
「對任意φ∈ C_c^∞(Ω)，我們需要驗證：「
「∫{-1}^{1}|x|φ'(x) dx =-∫{-1}^{1} v(x)φ(x) dx「
他將積分分成兩部分計算，每一步都寫得清清楚楚。
沈妍看得很專注，偶爾會提出疑問：「這裡為什麼可以分部積分？「
「因為φ是緊支撐的光滑函數，「陳林耐心解釋，「在邊界處它的值為零，所以分部積分不會產生邊界項。「
時間在不知不覺中流逝。
陽光透過窗戶，在草稿紙上投下斑駁的光影。
陳林的筆尖沙沙作響，偶爾停下來給沈妍詳細解釋某個關鍵步驟。
「你看，最後我們得到：「
「左式=∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx「
「右式也是一樣的結果，所以v確實是u的弱導數。「
「而且由於|v(x)|=1在Ω上有界，顯然u'∈ L¹_loc(Ω)。「
沈妍恍然大悟：「原來弱導數的本質是通過積分來定義的，這樣就避開了函數在某些點不可導的問題。「
「理解得很到位。「陳林裝模做樣，讚許地點點頭，「我們繼續看b小題。「
「這個就簡單了，因為我們已經在a小題中證明了關鍵的等式。「
他快速寫下：
「由(a)已證：
∫Ω uφ' dx =∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx
-∫Ω u'φ dx =-∫Ω vφ dx =相同結果
故等式成立。「
做完第一題，陳林抬頭看了看沈妍：「怎麼樣，這一題涉及的弱導數的基本概念理解了嗎？「
沈妍認真地點點頭：「比自己看書清楚多了。「
「那我們繼續第二題。「陳林翻到新的一頁，「這道題涉及到Sobolev空間的完備性。「
他開始在紙上構建證明框架：
「要證明W^{1，p}空間是完備的，關鍵是利用L^p空間的完備性...「
就這樣，兩人在安靜的自習室里，一個認真講解，一個專心學習。
窗外的陽光漸漸西斜，在他們身上灑下一層溫暖的金色。
偶爾，沈妍會因為突然理解了某個難點而露出欣喜的表情。
而陳林則會在她理解後，不動聲色地繼續下一個問題。
這種教與學的氛圍，讓時間過得飛快。
不知不覺間，草稿紙已經用了好幾張，上面密密麻麻地寫滿了各種公式和推導。
「最後這道變分原理的題目，「陳林活動了一下有些發酸的手腕，「涉及到Palais-Smale條件，這個概念確實比較抽象。「
沈妍也揉了揉眼睛，連續看了這麼久的數學推導，確實有點累。
但她的眼神依然明亮，顯然收穫頗豐。
她看了一眼手機上的時間，已經快三個小時了。
然後就聽到陳林說：「今天就先到這裡吧，我怕你一下子學太多東西消化不了。正好還有一點題目，你可以根據自己學的內容回家做做，有不懂的下次諮詢再問我。」
沈妍點點頭：「好的。很感謝你願意花這麼多時間指導我。」
陳林笑了笑：「都說了你是大金主啊，我肯定得服務到位吧。」
沈妍愣了愣，有點不好意思：「啊差點忘了，我馬上把這次的諮詢費轉給你。」
說著拿出手機微信轉帳。
陳林看著微信轉帳的信息，心情更加愉悅了。
和一個校花級美女獨處3小時，還能猛賺1500，唯一消耗的腦力，晚上早點睡就輕鬆補回來了。
還有比這更爽的事嘛？
於是對沈妍說到：「下次諮詢你提前一天找我約就行，我肯定排出空檔好吧。」
說完擺擺手，拎著書包轉身就走出了自習教室。
沈妍望著他的背影，自己已經是第三次見識到陳林非凡的數學天才了。
回想起剛才陳林講解題目時的沉著冷靜的神情，又望了望他留下的草稿紙，心跳沒來由地一陣加速，沈妍臉上多了一分不易察覺的紅暈。
她從包里拿出手機，手指在屏幕上輕點幾下，然後抬頭看向陳林：「我給你傳了個文件。「
陳林的手機震動了一下，他點開微信，看到沈妍發來的PDF文件。
打開一看，是沈妍自己學習研究課題時記的筆記，標題是《圖像處理中的變分模型》。
密密麻麻的公式和推導，工整的字跡，還有不同顏色標註的重點。
陳林心裡暗暗感嘆，不愧是學霸，光看這筆記的認真程度，就知道人家平時是怎麼學習的了。
不過，沒有具體的數學問題需要解決的時候，陳林看這些內容也沒啥特別的感覺。
「小小數學家「的能力雖然強大，但也需要有明確的問題才能發揮作用。
不過陳林懂套路啊。
他不動聲色地翻了幾頁，然後抬起頭，用一種高深莫測的眼神看向沈妍，微微挑了挑眉毛。
那意思很明顯：所以呢？你想問什麼？
沈妍被他這副裝模作樣的表情逗得差點笑出聲，但還是忍住了。
她打開自己的筆記本電腦，調出同一個文件，熟練地翻到某一頁。
「是這樣的，「她一邊操作一邊解釋道，「上次你幫我看完那個建模競賽的新算法後，我給顧教授也過目了，他對我的表現很滿意。「
陳林點點頭，心想這不是理所當然的嘛。
「然後顧教授給了我這個圖像處理中的變分模型的研究方向，讓我在下學期開始前先自學相關的基礎知識。「沈妍繼續說道，「有幾塊內容不太理解，比較重要的是泛函分析部分的知識。「
她將電腦屏幕轉向陳林，指著上面的內容：「這幾塊我反覆看了好多遍，還是不太能理解。「
陳林順著她的手指看去，只見屏幕上赫然寫著幾個專業術語：
「Sobolev空間理論「
「Banach空間微積分「
「變分原理（極小化序列、Palais-Smale條件）「
看到這些名詞，陳林心裡有點犯愁。
這些都是知識點沒錯，但問題是，如果沒有具體的數學題目，「小小數學家「的能力也無從發揮啊。
「這些內容，「沈妍有些苦惱地說，「本來應該是下學期才會學的。我已經提前自學了一段時間，但還是有很多地方理解不透。「
陳林想了想，試探性地問道：「有沒有相關的習題？我覺得通過解題來理解知識點，可能會更直觀一些。「
沈妍眼睛一亮，仿佛遇到了知音：「我也是這麼想的！「
她趕緊在電腦上翻找起來：「我在網上找了一些相關的題目，正好涵蓋了這三部分的知識。我本來做起來就很吃力，正好給你講解用。「
陳林心裡暗暗鬆了口氣。
有題目就好辦了，這下「小小數學家「終於有用武之地了。
很快，沈妍找到了題目文件，推到陳林面前：「你看，這些題目難度都不小。「
陳林定睛一看，第一題：
【設定義域Ω=(-1，1)⊂ℝ，給定函數 u(x)=|x|。
任務：
(a)驗證 u∈ L²(Ω)，並求出其弱導數 u'∈ L¹_loc(Ω)。
(b)對任意測試函數φ∈ C_c^∞(Ω)，驗證等式：∫Ω uφ' dx =-∫Ω u'φ dx成立。】
第二題：
【設{u_n}⊂ W^{1，p}(Ω)是柯西序列（其中 1 < p <∞），即滿足：
當 m，n→∞時，||u_m - u_n||{W^{1，p}}→ 0。
證明：存在函數 u∈ W^{1，p}(Ω)，使得序列在 W^{1，p}範數下收斂於 u，即：
當 n→∞時，||u_n - u||{W^{1，p}}→ 0】
陳林快速瀏覽了一遍所有題目，發現數量還真不少。
他轉頭對沈妍說：「題目挺多的，一下午肯定做不完。要不這樣，我們三塊知識各挑幾道典型的題目，邊做邊講解？「
「好的。「沈妍點點頭，顯然早有心理準備。
陳林起身，很自然地坐到了沈妍旁邊的位置上。
兩人之間的距離瞬間拉近，陳林甚至能聞到她身上淡淡的清香味。
他從背包里拿出草稿本和筆。
「小小數學家「，被動觸發！
瞬間，那種熟悉的感覺湧上心頭。
數學知識在腦子裡自動匯聚編排，自然形成一行行答案。
「我們從第一題開始。「陳林拿起筆，在草稿紙上寫下題號。
「第一題的a小題，要驗證函數屬於L²空間，關鍵是計算它的L²範數。「
他一邊說，一邊在紙上寫了起來：
「第一步：計算 u的 L²範數
||u||{L²(Ω)}²=∫{-1}^{1}|x|² dx「
沈妍認真地看著他的推導，不時點頭。
「注意這裡，「陳林用筆尖點了點紙面，「因為|x|是偶函數，所以我們可以利用對稱性簡化計算。「
「||u||{L²(Ω)}²
=∫{-1}^{1}|x|² dx
= 2∫{0}^{1} x² dx
= 2 *[x³/3]{0}^{1}
= 2*(1/3)= 2/3 <∞「
「所以，u∈ L²(Ω)。「
沈妍若有所思地點點頭：「原來驗證函數屬於L²空間，就是要證明它的L²範數是有限的。「
「沒錯。「陳林繼續寫道，「接下來要求弱導數，這個稍微複雜一點。「
他在紙上畫了一個簡單的圖，展示|x|函數的形狀。
「你看，|x|在x=0處不可導，所以我們不能用普通的導數概念。這時候就需要用到弱導數的定義。「
陳林開始詳細推導，筆尖在紙上飛快移動：
「設 v(x)= sign(x)={-1， x<0; 1， x>0}「
「對任意φ∈ C_c^∞(Ω)，我們需要驗證：「
「∫{-1}^{1}|x|φ'(x) dx =-∫{-1}^{1} v(x)φ(x) dx「
他將積分分成兩部分計算，每一步都寫得清清楚楚。
沈妍看得很專注，偶爾會提出疑問：「這裡為什麼可以分部積分？「
「因為φ是緊支撐的光滑函數，「陳林耐心解釋，「在邊界處它的值為零，所以分部積分不會產生邊界項。「
時間在不知不覺中流逝。
陽光透過窗戶，在草稿紙上投下斑駁的光影。
陳林的筆尖沙沙作響，偶爾停下來給沈妍詳細解釋某個關鍵步驟。
「你看，最後我們得到：「
「左式=∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx「
「右式也是一樣的結果，所以v確實是u的弱導數。「
「而且由於|v(x)|=1在Ω上有界，顯然u'∈ L¹_loc(Ω)。「
沈妍恍然大悟：「原來弱導數的本質是通過積分來定義的，這樣就避開了函數在某些點不可導的問題。「
「理解得很到位。「陳林裝模做樣，讚許地點點頭，「我們繼續看b小題。「
「這個就簡單了，因為我們已經在a小題中證明了關鍵的等式。「
他快速寫下：
「由(a)已證：
∫Ω uφ' dx =∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx
-∫Ω u'φ dx =-∫Ω vφ dx =相同結果
故等式成立。「
做完第一題，陳林抬頭看了看沈妍：「怎麼樣，這一題涉及的弱導數的基本概念理解了嗎？「
沈妍認真地點點頭：「比自己看書清楚多了。「
「那我們繼續第二題。「陳林翻到新的一頁，「這道題涉及到Sobolev空間的完備性。「
他開始在紙上構建證明框架：
「要證明W^{1，p}空間是完備的，關鍵是利用L^p空間的完備性...「
就這樣，兩人在安靜的自習室里，一個認真講解，一個專心學習。
窗外的陽光漸漸西斜，在他們身上灑下一層溫暖的金色。
偶爾，沈妍會因為突然理解了某個難點而露出欣喜的表情。
而陳林則會在她理解後，不動聲色地繼續下一個問題。
這種教與學的氛圍，讓時間過得飛快。
不知不覺間，草稿紙已經用了好幾張，上面密密麻麻地寫滿了各種公式和推導。
「最後這道變分原理的題目，「陳林活動了一下有些發酸的手腕，「涉及到Palais-Smale條件，這個概念確實比較抽象。「
沈妍也揉了揉眼睛，連續看了這麼久的數學推導，確實有點累。
但她的眼神依然明亮，顯然收穫頗豐。
她看了一眼手機上的時間，已經快三個小時了。
然後就聽到陳林說：「今天就先到這裡吧，我怕你一下子學太多東西消化不了。正好還有一點題目，你可以根據自己學的內容回家做做，有不懂的下次諮詢再問我。」
沈妍點點頭：「好的。很感謝你願意花這麼多時間指導我。」
陳林笑了笑：「都說了你是大金主啊，我肯定得服務到位吧。」
沈妍愣了愣，有點不好意思：「啊差點忘了，我馬上把這次的諮詢費轉給你。」
說著拿出手機微信轉帳。
陳林看著微信轉帳的信息，心情更加愉悅了。
和一個校花級美女獨處3小時，還能猛賺1500，唯一消耗的腦力，晚上早點睡就輕鬆補回來了。
還有比這更爽的事嘛？
於是對沈妍說到：「下次諮詢你提前一天找我約就行，我肯定排出空檔好吧。」
說完擺擺手，拎著書包轉身就走出了自習教室。
沈妍望著他的背影，自己已經是第三次見識到陳林非凡的數學天才了。
回想起剛才陳林講解題目時的沉著冷靜的神情，又望了望他留下的草稿紙，心跳沒來由地一陣加速，沈妍臉上多了一分不易察覺的紅暈。