第487章 NS的第二次嘗試 一
在未名湖畔吹了會兒冷風，理清了下周課程的思路後，徐辰溜達去教職工食堂對付了一頓晚飯，隨後便回到了萬柳書院的家中。
接下來的整整一周，他都沒有排課。而課題組的正式掛牌啟動，也是十天之後的事了。
這段空窗期，徐辰決定干點正事，繼續自己的主線任務——NS方程的研究。
說起任務，幾天前系統刷新了一個新的經驗任務。
徐辰當時還有點懵，因為之前經驗任務一直都是「1個常駐+2個隨機「的配置，後來系統新增一個【文明的桂冠】任務後變成了「2個常駐+1個隨機「。徐辰以為是常態了，現在又把隨機任務補充到了2個，變成了「2常駐+2隨機「的新格局。
常駐任務還是那兩個老面孔：【發表一區論文】和【文明的桂冠】。而在經驗任務欄里，除了之前就有的【薪火相傳】外，現在又憑空冒出了一個叫【世俗的度量】的新任務。
【任務描述：頂級的智慧不僅能摘取文明的桂冠，同樣也能在世俗的規則中遊刃有餘。真正的學術自由，往往建立在絕對的財務自由與資源調配能力之上。】
【任務要求：請宿主在2027年結束前，個人名下合法資產（包括但不限於現金、股權、不動產、專利授權等）總值超過3億人民幣。】
【任務獎勵：自由經驗點1000點，根據完成度浮動結算。】
【特別說明：嚴禁通過非法手段斂財！嚴禁挪用或侵占國家下發的專項科研經費！】
當時徐辰看完這個任務描述，經驗倒是不少，不過三個億實在有點多。
他現在卡里的獎金滿打滿算也就兩千萬不到，就算加上房產之類的估計最多四千萬到五千萬之間，還得再賺2.5個億。而且，數學家想要合法地搞錢，說實話太難了。你可以調用不少科研經費和資金支持，但要把這些真正轉化成個人資產？那完全是另一回事了。
所以徐辰當時就果斷地選擇了暫時無視這個任務。反正他現在已經夠忙了，主線任務【跨越千禧年的挑戰】還在進行中，【薪火相傳】的課題組籌備和開課工作也剛剛起步，還要給那幫清北的天才們上課……哪有閒工夫去琢磨怎麼搞錢？
相比之下，眼前有個更緊迫的事，他需要為N-S方程的研究創造一套全新的數學工具。
……
徐辰收回思緒，坐到了寬大的書桌前。桌面上，還散落著幾天前他第一次嘗試攻擊三維N-S方程時留下的廢稿。
「既然在課堂上說了要打破學科壁壘，讓學生們尋找更底層的邏輯……」
「我這個當老師的，總得身體力行地做個表率。」
徐辰抽出一張嶄新的A4紙。
上一次，他試圖用代數幾何與纖維叢的框架去強吃三維N-S方程，結果被「渦旋拉伸」這個魔鬼機制當場教做人。
所以這一次，徐辰決定換一條路。
他要動用兼具幾何直觀與分析深度的工具——微分拓撲。
……
微分拓撲是一個極其強大的工具。它研究的是光滑流形上的結構，能夠從最深層的幾何本質去理解一個問題。如果說代數幾何是用「代數的語言「來描述幾何，那麼微分拓撲就是用「光滑變換「來描述幾何。
在數學史上，微分拓撲曾創造過無數神跡。比如當年約翰·米爾諾僅僅因為發現了一個具有非標準微分結構的七維球面，就直接捧走了菲爾茲獎。這門學科天生就帶著一種「看透空間本質」的高貴血統。
在數學界的鄙視鏈里，搞代數和拓撲的，向來覺得搞偏微分方程（PDE）的是一群只會暴力算不等式的「藍領工人」；而搞PDE的，則覺得搞代數拓撲的是一群只會畫大餅、解決不了實際物理演化問題的「空中樓閣」。
N-S方程作為PDE領域的終極神獸，向來是「藍領工人」們的自留地。但徐辰現在，偏偏要用最純正的「貴族工具」去降維打擊這頭神獸。
不過，微分拓撲擅長處理靜態結構，而N-S方程是動態演化。
所以，為了彌補這種先天的不兼容，他一開始就祭出了極其高階的策略。
徐辰的想法極其瘋狂：既然渦旋拉伸是一個「動態的過程」，那為什麼不嘗試把時間維度直接幾何化？
他試圖用接觸拓撲中的Reeb流，將三維流體隨時間的演化，直接「凍結「成一個四維時空里的靜態葉狀結構。這個想法的靈感，其實來自於廣義相對論中的「時空「概念。愛因斯坦當年就是通過把時間和空間統一成一個四維流形，才徹底改寫了物理學的基礎。徐辰現在要做的，就是把這個思想借鑑到流體力學裡。
只要這個四維幾何體能夠被證明全局存在，那麼極度狂暴的動力學演化問題，就完美轉化為了一個可以被微分拓撲工具拿捏的靜態拓撲問題！
這就像是在揉麵團。傳統的偏微分方程（PDE）方法，是站在三維空間裡，試圖去計算麵團里每一粒麵粉隨時間變化的運動軌跡，計算量大到足以讓超級計算機直接冒黑煙。
而徐辰的四維幾何化方法，則是直接把「麵團從頭到尾被揉捏的整個時間過程」，連同三維空間一起，澆築成了一整塊巨大的「四維琥珀」！
他不去看裡面麵粉是怎麼動的，他只盯著這塊四維琥珀內部的紋理（葉狀結構），看看它在幾何上是否完整、會不會出現拓撲意義上的撕裂。
「上世紀60年代，史蒂芬·斯梅爾就是用『馬蹄映射』這種拓撲學的揉麵團手法，硬生生砸開了混沌動力系統的大門。」徐辰拿起筆，開始在紙上構建一個新的框架，「前輩能做到的事，我沒理由做不到。而且，我的工具比他當年用的更先進。」
首先，他引入了時間軸 I = [0， T)，將其與流體的三維空間域 M 做直積，構造出了一個四維時空流形 X = M × I。
在這個四維流形上，原本隨時間演化的速度場 u(x， t)，被他直接提升為一個四維的靜態向量場 V。而流體的運動軌跡，則被完美地編碼為了 X 上的一個一維葉狀結構。
「關鍵在於，」徐辰喃喃自語，「我需要在這個四維時空中，重新定義渦旋拉伸。如果我能把這個拉伸過程編碼成四維流形上的幾何性質，那麼它就不再是一個『動態的噩夢』，而是一個『靜態的拓撲不變量』。」
他繼續寫下去。
……
接下來的整整一周，他都沒有排課。而課題組的正式掛牌啟動，也是十天之後的事了。
這段空窗期，徐辰決定干點正事，繼續自己的主線任務——NS方程的研究。
說起任務，幾天前系統刷新了一個新的經驗任務。
徐辰當時還有點懵，因為之前經驗任務一直都是「1個常駐+2個隨機「的配置，後來系統新增一個【文明的桂冠】任務後變成了「2個常駐+1個隨機「。徐辰以為是常態了，現在又把隨機任務補充到了2個，變成了「2常駐+2隨機「的新格局。
常駐任務還是那兩個老面孔：【發表一區論文】和【文明的桂冠】。而在經驗任務欄里，除了之前就有的【薪火相傳】外，現在又憑空冒出了一個叫【世俗的度量】的新任務。
【任務描述：頂級的智慧不僅能摘取文明的桂冠，同樣也能在世俗的規則中遊刃有餘。真正的學術自由，往往建立在絕對的財務自由與資源調配能力之上。】
【任務要求：請宿主在2027年結束前，個人名下合法資產（包括但不限於現金、股權、不動產、專利授權等）總值超過3億人民幣。】
【任務獎勵：自由經驗點1000點，根據完成度浮動結算。】
【特別說明：嚴禁通過非法手段斂財！嚴禁挪用或侵占國家下發的專項科研經費！】
當時徐辰看完這個任務描述，經驗倒是不少，不過三個億實在有點多。
他現在卡里的獎金滿打滿算也就兩千萬不到，就算加上房產之類的估計最多四千萬到五千萬之間，還得再賺2.5個億。而且，數學家想要合法地搞錢，說實話太難了。你可以調用不少科研經費和資金支持，但要把這些真正轉化成個人資產？那完全是另一回事了。
所以徐辰當時就果斷地選擇了暫時無視這個任務。反正他現在已經夠忙了，主線任務【跨越千禧年的挑戰】還在進行中，【薪火相傳】的課題組籌備和開課工作也剛剛起步，還要給那幫清北的天才們上課……哪有閒工夫去琢磨怎麼搞錢？
相比之下，眼前有個更緊迫的事，他需要為N-S方程的研究創造一套全新的數學工具。
……
徐辰收回思緒，坐到了寬大的書桌前。桌面上，還散落著幾天前他第一次嘗試攻擊三維N-S方程時留下的廢稿。
「既然在課堂上說了要打破學科壁壘，讓學生們尋找更底層的邏輯……」
「我這個當老師的，總得身體力行地做個表率。」
徐辰抽出一張嶄新的A4紙。
上一次，他試圖用代數幾何與纖維叢的框架去強吃三維N-S方程，結果被「渦旋拉伸」這個魔鬼機制當場教做人。
所以這一次，徐辰決定換一條路。
他要動用兼具幾何直觀與分析深度的工具——微分拓撲。
……
微分拓撲是一個極其強大的工具。它研究的是光滑流形上的結構，能夠從最深層的幾何本質去理解一個問題。如果說代數幾何是用「代數的語言「來描述幾何，那麼微分拓撲就是用「光滑變換「來描述幾何。
在數學史上，微分拓撲曾創造過無數神跡。比如當年約翰·米爾諾僅僅因為發現了一個具有非標準微分結構的七維球面，就直接捧走了菲爾茲獎。這門學科天生就帶著一種「看透空間本質」的高貴血統。
在數學界的鄙視鏈里，搞代數和拓撲的，向來覺得搞偏微分方程（PDE）的是一群只會暴力算不等式的「藍領工人」；而搞PDE的，則覺得搞代數拓撲的是一群只會畫大餅、解決不了實際物理演化問題的「空中樓閣」。
N-S方程作為PDE領域的終極神獸，向來是「藍領工人」們的自留地。但徐辰現在，偏偏要用最純正的「貴族工具」去降維打擊這頭神獸。
不過，微分拓撲擅長處理靜態結構，而N-S方程是動態演化。
所以，為了彌補這種先天的不兼容，他一開始就祭出了極其高階的策略。
徐辰的想法極其瘋狂：既然渦旋拉伸是一個「動態的過程」，那為什麼不嘗試把時間維度直接幾何化？
他試圖用接觸拓撲中的Reeb流，將三維流體隨時間的演化，直接「凍結「成一個四維時空里的靜態葉狀結構。這個想法的靈感，其實來自於廣義相對論中的「時空「概念。愛因斯坦當年就是通過把時間和空間統一成一個四維流形，才徹底改寫了物理學的基礎。徐辰現在要做的，就是把這個思想借鑑到流體力學裡。
只要這個四維幾何體能夠被證明全局存在，那麼極度狂暴的動力學演化問題，就完美轉化為了一個可以被微分拓撲工具拿捏的靜態拓撲問題！
這就像是在揉麵團。傳統的偏微分方程（PDE）方法，是站在三維空間裡，試圖去計算麵團里每一粒麵粉隨時間變化的運動軌跡，計算量大到足以讓超級計算機直接冒黑煙。
而徐辰的四維幾何化方法，則是直接把「麵團從頭到尾被揉捏的整個時間過程」，連同三維空間一起，澆築成了一整塊巨大的「四維琥珀」！
他不去看裡面麵粉是怎麼動的，他只盯著這塊四維琥珀內部的紋理（葉狀結構），看看它在幾何上是否完整、會不會出現拓撲意義上的撕裂。
「上世紀60年代，史蒂芬·斯梅爾就是用『馬蹄映射』這種拓撲學的揉麵團手法，硬生生砸開了混沌動力系統的大門。」徐辰拿起筆，開始在紙上構建一個新的框架，「前輩能做到的事，我沒理由做不到。而且，我的工具比他當年用的更先進。」
首先，他引入了時間軸 I = [0， T)，將其與流體的三維空間域 M 做直積，構造出了一個四維時空流形 X = M × I。
在這個四維流形上，原本隨時間演化的速度場 u(x， t)，被他直接提升為一個四維的靜態向量場 V。而流體的運動軌跡，則被完美地編碼為了 X 上的一個一維葉狀結構。
「關鍵在於，」徐辰喃喃自語，「我需要在這個四維時空中，重新定義渦旋拉伸。如果我能把這個拉伸過程編碼成四維流形上的幾何性質，那麼它就不再是一個『動態的噩夢』，而是一個『靜態的拓撲不變量』。」
他繼續寫下去。
……