第339章 階段性成果 二
萬里長征終於走完了第一步。
對於絕大多數數學家來說，如果能獨立打通[10^300萬，+∞)這樣一個龐大區間的哥德巴赫猜想證明，並且還順手發明了「概率論+圓法」這種全新的數學武器。那絕對會立刻停下來，開香檳慶祝，然後迫不及待地把這幾百頁的推導過程整理成論文，去《數學年刊》上狂撈一波學術聲望。
但徐辰沒有。
他的目標，是那座山峰的絕對頂點——完整證明哥德巴赫猜想。
目前10^300萬這個數字，僅僅是概率圓法能解決的最容易的超大數的那一部分，當這個方法推廣到越來越小的數字時，其計算難度也會越來越高，可以說距離完整證明還遠得很。
所以，徐辰沒有急著去整理論文，而是馬不停蹄地開始了第二階段的攻堅：
……
然而，當徐辰真正著手去構建這套方法時，他才發現，這其中的難度，遠比他想像的要大得多。
在學術界，提出一個猜想、構思一個全新的框架，往往比解決一個具體的難題要困難得多。
之前那個[10^300萬，+∞)區間的證明思路，雖然是他自己推導出來的，但大方向畢竟是拉福格教授指點的。那是菲爾茲獎得主幾十年數學經驗沉澱下來的直覺判斷，相當於有人告訴了他「往東走肯定有路」。
但現在，徐辰要做的，是自己去發明一個「指南針」，去找到這個方法在其他區間的「可解性」。
這就完全沒有任何前人的經驗可以借鑑了。
他必須獨自面對一片未知的數學荒原，在沒有任何路標的情況下，硬生生地蹚出一條路來。
這不僅僅是數學能力的考驗，更是對一個學者「學術品味」和「戰略眼光」的終極試煉。
……
在學術界，絕大多數博士生之所以離不開導師，並不是因為導師解題比他們快。
相反，很多老教授的計算能力和反應速度，早就比不上年輕力壯的學生了。
但導師之所以是導師，是因為他們「成功過」。他們知道在面對一個未知難題時，什麼樣的思路是靠譜的，什麼樣的方向是死胡同。他們就像是經驗豐富的教練，雖然自己跑不動了，但一眼就能看出運動員的動作哪裡不對，該怎麼調整才能發揮出最大的潛能。
而現在的徐辰，正在經歷一場痛苦的蛻變。
他既是那個在賽場上拼命奔跑的運動員，又要逼著自己跳出局外，去做那個冷靜分析局勢、制定戰略的教練。
這種「身兼數職」的能力，正是通往「大數學家」的必經之路。
只有當你不再依賴別人的指引，能夠獨立判斷方向、獨立設計路線時，你才真正具備了衝擊菲爾茲獎的資格。
……
接下來的一周，徐辰幾乎把所有的時間都耗在了這套方法的構建上。
他嘗試了各種數學工具：從範疇論的同調代數，到幾何分析的里奇流，甚至還引入了資訊理論中的熵增原理。
他試圖找到一個底層的數學指標，能夠量化「概率圓法」在不同區間內的收斂性。
「如果能定義一個『圓法熵』……」
徐辰在草稿紙上畫了一個複雜的拓撲圖。
「當這個熵值小於某個臨界點時，疊代就一定收斂；大於臨界點時，誤差項就會發散。」
想法很美好，但現實很骨感。
當他試圖把這個「圓法熵」應用到[10^200萬，10^300萬]這個稍微低一點的能級區間時，計算結果卻讓他大失所望。
那個指標非常得不穩定！
在某些局部點上，它顯示收斂；但在另一些點上，它又莫名其妙地發散了。
他終於意識到問題出在哪裡了。
他試圖提煉規律的「樣本」，實在太少了！
目前，他手裡只有[10^300萬，+∞)這一個成功的案例。
他現在的處境，就像是試圖通過解剖一隻麻雀，去總結出所有鳥類的飛行規律。
雖然麻雀也是鳥，但它代表不了老鷹，更代表不了企鵝。
僅僅依靠[10^300萬，+∞)這一個區間的成功經驗，根本不足以提煉出普適性的規律，反而容易因為樣本不足而陷入「過擬合」的謬誤。
沒有足夠多的、在不同尺度下的成功案例作為支撐，他根本無法分辨出，第一階段的成功，哪些是因為數學方法的普適性，哪些僅僅是因為那個區間的特殊性
……
「看來，想走捷徑是不行了。」
徐辰揉了揉發脹的太陽穴，眼神中閃過一絲決絕。
「必須得笨辦法，多攢幾個樣本。」
既然一個區間不夠，那就再算一個！
他決定暫時放下那個宏大的「通用方法論」，重新回到苦逼的「搬磚」模式。
他要把概率圓法的適用下限，從 10^300萬，硬生生地往下壓！
去啃那些更硬、更難算的骨頭！
……
不過在開啟下一階段的研究之前，他覺得有必要和拉福格教授同步一下近期的進展。
畢竟，距離九月中旬的「半年之約」已經越來越近了。
……
下午兩點，徐辰帶著一疊整理好的草稿，敲開了拉福格教授辦公室的門。
辦公室里不止拉福格一人，還有另一位名叫托馬斯的博士生。
此刻，托馬斯站在白板前，匯報的正是他博士論文的核心方向——「算術簇上的p-adic霍奇理論」，這同樣是朗蘭茲綱領中最艱深、最前沿的領域之一。
作為巴黎薩克雷大學數論方向的明星博士生，托馬斯在同齡人中絕對算得上是佼佼者。
他年僅二十六歲，卻已是法國年輕一代數論學者中的絕對翹楚。他師從拉福格攻讀博士的第二年，就在世界頂尖的《數學發明》（Inventiones Mathematicae）上獨立發表過一篇關於朗蘭茲綱領局部對應猜想的論文，在整個歐洲數學界都引起了不小的轟動。
在拉福格眼中，托馬斯不僅天賦出眾，更難得的是他那股沉穩紮實的鑽研勁頭。
「……所以，教授，」托馬斯指著白板上一組複雜的伽羅瓦表示，眉頭緊鎖，「我在嘗試將仿射空間的周期積分推廣到射影簇時，遇到了一個無法繞開的奇點發散問題。我查閱了方丹和梅斯林的所有相關文獻，但他們的理論似乎都無法直接應用在這裡。」
拉福格的臉上露出一絲讚許。這個問題非常棘手，但托馬斯能精準地定位到問題的核心，並嘗試在前人的基礎上進行推廣，這正是他希望看到的、屬於頂尖數學家的思維方式。這孩子，未來極有可能會成為法蘭西數學學派的又一根頂樑柱。
……
對於絕大多數數學家來說，如果能獨立打通[10^300萬，+∞)這樣一個龐大區間的哥德巴赫猜想證明，並且還順手發明了「概率論+圓法」這種全新的數學武器。那絕對會立刻停下來，開香檳慶祝，然後迫不及待地把這幾百頁的推導過程整理成論文，去《數學年刊》上狂撈一波學術聲望。
但徐辰沒有。
他的目標，是那座山峰的絕對頂點——完整證明哥德巴赫猜想。
目前10^300萬這個數字，僅僅是概率圓法能解決的最容易的超大數的那一部分，當這個方法推廣到越來越小的數字時，其計算難度也會越來越高，可以說距離完整證明還遠得很。
所以，徐辰沒有急著去整理論文，而是馬不停蹄地開始了第二階段的攻堅：
……
然而，當徐辰真正著手去構建這套方法時，他才發現，這其中的難度，遠比他想像的要大得多。
在學術界，提出一個猜想、構思一個全新的框架，往往比解決一個具體的難題要困難得多。
之前那個[10^300萬，+∞)區間的證明思路，雖然是他自己推導出來的，但大方向畢竟是拉福格教授指點的。那是菲爾茲獎得主幾十年數學經驗沉澱下來的直覺判斷，相當於有人告訴了他「往東走肯定有路」。
但現在，徐辰要做的，是自己去發明一個「指南針」，去找到這個方法在其他區間的「可解性」。
這就完全沒有任何前人的經驗可以借鑑了。
他必須獨自面對一片未知的數學荒原，在沒有任何路標的情況下，硬生生地蹚出一條路來。
這不僅僅是數學能力的考驗，更是對一個學者「學術品味」和「戰略眼光」的終極試煉。
……
在學術界，絕大多數博士生之所以離不開導師，並不是因為導師解題比他們快。
相反，很多老教授的計算能力和反應速度，早就比不上年輕力壯的學生了。
但導師之所以是導師，是因為他們「成功過」。他們知道在面對一個未知難題時，什麼樣的思路是靠譜的，什麼樣的方向是死胡同。他們就像是經驗豐富的教練，雖然自己跑不動了，但一眼就能看出運動員的動作哪裡不對，該怎麼調整才能發揮出最大的潛能。
而現在的徐辰，正在經歷一場痛苦的蛻變。
他既是那個在賽場上拼命奔跑的運動員，又要逼著自己跳出局外，去做那個冷靜分析局勢、制定戰略的教練。
這種「身兼數職」的能力，正是通往「大數學家」的必經之路。
只有當你不再依賴別人的指引，能夠獨立判斷方向、獨立設計路線時，你才真正具備了衝擊菲爾茲獎的資格。
……
接下來的一周，徐辰幾乎把所有的時間都耗在了這套方法的構建上。
他嘗試了各種數學工具：從範疇論的同調代數，到幾何分析的里奇流，甚至還引入了資訊理論中的熵增原理。
他試圖找到一個底層的數學指標，能夠量化「概率圓法」在不同區間內的收斂性。
「如果能定義一個『圓法熵』……」
徐辰在草稿紙上畫了一個複雜的拓撲圖。
「當這個熵值小於某個臨界點時，疊代就一定收斂；大於臨界點時，誤差項就會發散。」
想法很美好，但現實很骨感。
當他試圖把這個「圓法熵」應用到[10^200萬，10^300萬]這個稍微低一點的能級區間時，計算結果卻讓他大失所望。
那個指標非常得不穩定！
在某些局部點上，它顯示收斂；但在另一些點上，它又莫名其妙地發散了。
他終於意識到問題出在哪裡了。
他試圖提煉規律的「樣本」，實在太少了！
目前，他手裡只有[10^300萬，+∞)這一個成功的案例。
他現在的處境，就像是試圖通過解剖一隻麻雀，去總結出所有鳥類的飛行規律。
雖然麻雀也是鳥，但它代表不了老鷹，更代表不了企鵝。
僅僅依靠[10^300萬，+∞)這一個區間的成功經驗，根本不足以提煉出普適性的規律，反而容易因為樣本不足而陷入「過擬合」的謬誤。
沒有足夠多的、在不同尺度下的成功案例作為支撐，他根本無法分辨出，第一階段的成功，哪些是因為數學方法的普適性，哪些僅僅是因為那個區間的特殊性
……
「看來，想走捷徑是不行了。」
徐辰揉了揉發脹的太陽穴，眼神中閃過一絲決絕。
「必須得笨辦法，多攢幾個樣本。」
既然一個區間不夠，那就再算一個！
他決定暫時放下那個宏大的「通用方法論」，重新回到苦逼的「搬磚」模式。
他要把概率圓法的適用下限，從 10^300萬，硬生生地往下壓！
去啃那些更硬、更難算的骨頭！
……
不過在開啟下一階段的研究之前，他覺得有必要和拉福格教授同步一下近期的進展。
畢竟，距離九月中旬的「半年之約」已經越來越近了。
……
下午兩點，徐辰帶著一疊整理好的草稿，敲開了拉福格教授辦公室的門。
辦公室里不止拉福格一人，還有另一位名叫托馬斯的博士生。
此刻，托馬斯站在白板前，匯報的正是他博士論文的核心方向——「算術簇上的p-adic霍奇理論」，這同樣是朗蘭茲綱領中最艱深、最前沿的領域之一。
作為巴黎薩克雷大學數論方向的明星博士生，托馬斯在同齡人中絕對算得上是佼佼者。
他年僅二十六歲，卻已是法國年輕一代數論學者中的絕對翹楚。他師從拉福格攻讀博士的第二年，就在世界頂尖的《數學發明》（Inventiones Mathematicae）上獨立發表過一篇關於朗蘭茲綱領局部對應猜想的論文，在整個歐洲數學界都引起了不小的轟動。
在拉福格眼中，托馬斯不僅天賦出眾，更難得的是他那股沉穩紮實的鑽研勁頭。
「……所以，教授，」托馬斯指著白板上一組複雜的伽羅瓦表示，眉頭緊鎖，「我在嘗試將仿射空間的周期積分推廣到射影簇時，遇到了一個無法繞開的奇點發散問題。我查閱了方丹和梅斯林的所有相關文獻，但他們的理論似乎都無法直接應用在這裡。」
拉福格的臉上露出一絲讚許。這個問題非常棘手，但托馬斯能精準地定位到問題的核心，並嘗試在前人的基礎上進行推廣，這正是他希望看到的、屬於頂尖數學家的思維方式。這孩子，未來極有可能會成為法蘭西數學學派的又一根頂樑柱。
……