第25章 CMO省隊集訓
隨後，張建國給每個人發了一厚沓全新的學習資料，然後便宣布：
「從現在開始，大家在教室內自習。這套資料，是我們為這次集訓專門編寫的，涵蓋了CMO的所有核心考點和經典題型。有問題，可以隨時到講台上來，和我一對一交流。」
教室里立刻響起了翻動紙張的聲音。
徐辰也拿起了那份資料。
他粗略地掃了一眼。
第一部分，數論。從同餘理論到二次剩餘，再到高斯整數。
第二部分，組合。從鴿巢原理到容斥原理，再到生成函數和組合恆等式。
這些題目，對於其他隊員來說，是需要反覆訓練，或者查漏補缺的材料。
但對徐辰而言……
【索然無味。】
之前省賽的時候確實還欠缺這些技巧知識，但是現在的他已經補習過競賽知識點了，知識點已經覆蓋全了。
而且，現在的他，數學天賦已經到了【LV.1】，對數學的理解層次已經再次迎來質變。
所以現在再做這些其實已經是浪費時間了。
他收回思路，拿出了手機，點開了那個熟悉的公眾號——「許康樺競賽優學」。
相比於做這些已經完全掌握的題目，他發現，還是去那個最適合自己的懸賞任務處看看，那邊更有意思。
他打開了之前收藏的一道試題。
這是一道被標註為「IMO」級別難度的組合幾何題，懸賞金額為300元，發布已經快一周了，下面雖然有幾十條討論，但還沒有人能給出讓發布者滿意的完整解法。
【題目：在一個平面上，給定n≥3個點，其中任意三點不共線。求證：存在一個由其中3個點構成的三角形，其外接圓的內部，不包含任何其他給定點。】
這是一個經典的「空外接圓三角形」存在性問題。
下面的評論區，已經有人給出了常規的解法思路：
「考慮所有點對構成的線段，取其中最短的一條，設為AB。再在剩下的n-2個點中，找到使∠ACB最大的點C，則△ABC即為所求。」
這個思路是正確的，也是競賽教輔書上的標準答案。
但懸賞的要求，是給出「其他思路的解法」。
徐辰的目光在屏幕上停留了片刻，開始思考起來。
【常規解法，利用的是「最小」和「最大」的極值原理。那麼，是否可以從其他角度入手？】
【比如，凸包？】
【考慮這n個點的凸包。如果能證明凸包的某條邊和另一個點構成的三角形滿足條件……】
【或者，反證法？假設所有三角形的外接圓內部都包含其他點，能否導出矛盾？】
一個個念頭在他腦海中閃過，又被他一一否決。
他很清楚，要從其他視角解決這個問題，本質上考驗的是對數學各個分支之間內在聯繫的深刻洞察力。
【這道題，表面上是一個幾何問題，但其內核，卻是一個關於「存在性」的組合問題。常規解法是從幾何角度出發，用極值來解決。那麼，是否可以反過來，用純組合的，或者代數的，甚至拓撲的觀點來審視它？】
這正是這類問題的難點所在。
對於絕大多數人而言，他們的知識體系是模塊化的。幾何就是幾何，代數就是代數，組合就是組合。他們擅長在各自的模塊內，運用熟練的技巧解決問題。
但要讓他們進行「跨界」思考，比如用數論的方法去解決一個幾何問題，或者用拓撲學的思想去構造一個組合證明，這就超出了他們的能力範圍。
這需要一種超越模塊化知識的、對數學整體架構的宏觀理解。需要能看到不同分支底層邏輯的共通之處，並搭建起溝通它們的橋樑。
這，正是徐辰在數學等級提升到【LV.1】後，所獲得的最寶貴的能力。
【比如，凸包？考慮這n個點的凸包。如果能證明凸包的某條邊和另一個點構成的三角形滿足條件……這個思路不錯，但似乎還是離不開極值。】
【或者，反證法？假設所有三角形的外接圓內部都包含其他點，能否利用這個假設，構造出一個無限遞降的點序列或者某種幾何結構，從而導出矛盾？這有點像費馬的無窮遞降法，是數論的思想。】
一個個念頭在他腦海中閃過，又被他一一審視、推演……
那道懸賞的組合幾何題，比徐辰想像中要更棘手一些。
他嘗試了幾種不同的思路，但都發現，想要繞開經典的「極值原理」去給出一個同樣簡潔優美的證明，似乎總會陷入更複雜的分類討論，或者需要引入更高級的工具。
徐辰很快意識到了問題所在。
「看來，我現有的知識體系，還是存在一些『盲區』。」
他雖然已經掌握了高中競賽的所有內容，但面對這種IMO級別的難題，尤其是要求創新解法時，僅僅依靠現有的工具箱，還是有些捉襟見肘。
於是，在接下來二十多天的集訓里，徐辰基本上都在學習大學數學知識，用於擴充自己的數學工具箱。
他每天準時來到教室，卻幾乎沒碰過那套集訓資料。他的桌上，擺放的永遠是那些封面樸素的大學教材——《數學分析》、《高等代數》、《點集拓撲學講義》……
這種「格格不入」的狀態，自然引起了帶隊張老師的注意。
作為省隊的總負責人，張老師對徐辰這位省賽狀元寄予了厚望，自然也對他格外關注。
集訓開始的第三天，張老師在課間休息時，把徐辰叫到了走廊上。
「徐辰同學，」張老師推了推眼鏡，語氣溫和地問道，「我看你這幾天，好像沒怎麼做我們發的集訓資料。是覺得題目太簡單了，還是遇到了什麼困難？」
「都不是。」徐辰實話實說，「資料上的知識點，我之前都已經掌握了。我現在在按照自己的節奏，預習一些後續的知識。」
張老師愣了一下。
「都已經掌握了？」他有些難以置信。那套資料，是他和幾位大學教授花費了大量心血編寫的，難度和深度都遠超省賽，就是為了讓這些省一選手能提前適應CMO的強度。
「嗯。」徐辰點了點頭。
張老師看著徐辰那雙平靜得不起一絲波瀾的眼睛，一時間竟不知道該說什麼。
他想質疑，但對方是省賽唯一的滿分。
他想提醒，但對方的自信又不像是在說謊。
最終，他只能嘆了口氣，拍了拍徐辰的肩膀：「好，我相信你有自己的學習計劃。但還是要提醒你，CMO非同小可，千萬不能掉以輕心。有什麼問題，隨時來找我。」
「好的，謝謝張老師。」
在提出了幾個問題後，徐辰都輕鬆對答，於是張老師後續也自然放鬆了對徐辰的關注。
畢竟，天才都是特殊的。不能用其他人的方式來管理天才，每個天才都有自己的方法。
徐辰，則在這段無人打擾的時間裡，享受著知識瘋狂湧入大腦的快感。
他發現，學習大學數學，對於解決那些競賽難題，有著意想不到的「降維打擊」效果。
比如，當他學到拓撲學中的「緊緻性」概念時，再回過頭去看那道「空外接圓三角形」的證明，瞬間就有了全新的思路。
【原來，常規解法里取『最短線段』和『最大角』的步驟，其本質，就是在利用平面有界閉集的緊緻性，來保證極值的存在性。如果從這個角度出發確實不失為一個好的思路……】
新知識的獲取和高強度的思考，讓系統面板上的經驗值，也在穩步增長。
二十多天下來，當集訓即將結束時，他的數學學科經驗值，已經從剛升級LV.1時的0/500，提升到了20/500。
雖然距離再次升級還很遙遠，但這種持續進步的感覺，讓他無比滿足。
……
20天的集訓很快就要過去，在集訓結束的倒數第二天，張老師宣布，將進行一次完全模擬CMO流程的測驗。
CMO的賽制是一共考兩天時間，每天8點到12點半是考試時間，每場考試三道題，兩天共六道大題。每題21分，總分126分。
「這次測驗，不計入任何最終成績，目的就是讓大家提前感受一下CMO的氛圍和壓力。」
當最終的測驗成績，被張老師用投影儀打在幕布上時，整個教室，陷入了死一般的寂靜。
第一名：徐辰。
第一場：63分（滿分）。
第二場：63分（滿分）。
總分：126分（滿分）。
而排在第二名的趙瑞，總分是120分。
斷層，鴻溝，天塹。
所有人都呆呆地看著那個刺眼的「滿分」，感覺自己的認知被徹底顛覆了。
張老師拿著成績單的手，在微微顫抖。他和其他幾位參與閱卷的老師對視了一眼，彼此的眼中，都看到了難以掩飾的狂喜和激動。
他們本以為，徐辰省賽的滿分，有運氣的成分。
他們本以為，徐辰在集訓期間的「不務正業」，是一種天才的任性。
直到此刻，他們才真正明白。
那不是運氣，也不是任性。
那是一種絕對實力下的……降維打擊！
「穩了……」
一位副手老師湊到張老師耳邊，用夢囈般的聲音說道。
「今年的CMO前三，感覺穩了。至於CMO第一，也不是不可能的事。」
「從現在開始，大家在教室內自習。這套資料，是我們為這次集訓專門編寫的，涵蓋了CMO的所有核心考點和經典題型。有問題，可以隨時到講台上來，和我一對一交流。」
教室里立刻響起了翻動紙張的聲音。
徐辰也拿起了那份資料。
他粗略地掃了一眼。
第一部分，數論。從同餘理論到二次剩餘，再到高斯整數。
第二部分，組合。從鴿巢原理到容斥原理，再到生成函數和組合恆等式。
這些題目，對於其他隊員來說，是需要反覆訓練，或者查漏補缺的材料。
但對徐辰而言……
【索然無味。】
之前省賽的時候確實還欠缺這些技巧知識，但是現在的他已經補習過競賽知識點了，知識點已經覆蓋全了。
而且，現在的他，數學天賦已經到了【LV.1】，對數學的理解層次已經再次迎來質變。
所以現在再做這些其實已經是浪費時間了。
他收回思路，拿出了手機，點開了那個熟悉的公眾號——「許康樺競賽優學」。
相比於做這些已經完全掌握的題目，他發現，還是去那個最適合自己的懸賞任務處看看，那邊更有意思。
他打開了之前收藏的一道試題。
這是一道被標註為「IMO」級別難度的組合幾何題，懸賞金額為300元，發布已經快一周了，下面雖然有幾十條討論，但還沒有人能給出讓發布者滿意的完整解法。
【題目：在一個平面上，給定n≥3個點，其中任意三點不共線。求證：存在一個由其中3個點構成的三角形，其外接圓的內部，不包含任何其他給定點。】
這是一個經典的「空外接圓三角形」存在性問題。
下面的評論區，已經有人給出了常規的解法思路：
「考慮所有點對構成的線段，取其中最短的一條，設為AB。再在剩下的n-2個點中，找到使∠ACB最大的點C，則△ABC即為所求。」
這個思路是正確的，也是競賽教輔書上的標準答案。
但懸賞的要求，是給出「其他思路的解法」。
徐辰的目光在屏幕上停留了片刻，開始思考起來。
【常規解法，利用的是「最小」和「最大」的極值原理。那麼，是否可以從其他角度入手？】
【比如，凸包？】
【考慮這n個點的凸包。如果能證明凸包的某條邊和另一個點構成的三角形滿足條件……】
【或者，反證法？假設所有三角形的外接圓內部都包含其他點，能否導出矛盾？】
一個個念頭在他腦海中閃過，又被他一一否決。
他很清楚，要從其他視角解決這個問題，本質上考驗的是對數學各個分支之間內在聯繫的深刻洞察力。
【這道題，表面上是一個幾何問題，但其內核，卻是一個關於「存在性」的組合問題。常規解法是從幾何角度出發，用極值來解決。那麼，是否可以反過來，用純組合的，或者代數的，甚至拓撲的觀點來審視它？】
這正是這類問題的難點所在。
對於絕大多數人而言，他們的知識體系是模塊化的。幾何就是幾何，代數就是代數，組合就是組合。他們擅長在各自的模塊內，運用熟練的技巧解決問題。
但要讓他們進行「跨界」思考，比如用數論的方法去解決一個幾何問題，或者用拓撲學的思想去構造一個組合證明，這就超出了他們的能力範圍。
這需要一種超越模塊化知識的、對數學整體架構的宏觀理解。需要能看到不同分支底層邏輯的共通之處，並搭建起溝通它們的橋樑。
這，正是徐辰在數學等級提升到【LV.1】後，所獲得的最寶貴的能力。
【比如，凸包？考慮這n個點的凸包。如果能證明凸包的某條邊和另一個點構成的三角形滿足條件……這個思路不錯，但似乎還是離不開極值。】
【或者，反證法？假設所有三角形的外接圓內部都包含其他點，能否利用這個假設，構造出一個無限遞降的點序列或者某種幾何結構，從而導出矛盾？這有點像費馬的無窮遞降法，是數論的思想。】
一個個念頭在他腦海中閃過，又被他一一審視、推演……
那道懸賞的組合幾何題，比徐辰想像中要更棘手一些。
他嘗試了幾種不同的思路，但都發現，想要繞開經典的「極值原理」去給出一個同樣簡潔優美的證明，似乎總會陷入更複雜的分類討論，或者需要引入更高級的工具。
徐辰很快意識到了問題所在。
「看來，我現有的知識體系，還是存在一些『盲區』。」
他雖然已經掌握了高中競賽的所有內容，但面對這種IMO級別的難題，尤其是要求創新解法時，僅僅依靠現有的工具箱，還是有些捉襟見肘。
於是，在接下來二十多天的集訓里，徐辰基本上都在學習大學數學知識，用於擴充自己的數學工具箱。
他每天準時來到教室，卻幾乎沒碰過那套集訓資料。他的桌上，擺放的永遠是那些封面樸素的大學教材——《數學分析》、《高等代數》、《點集拓撲學講義》……
這種「格格不入」的狀態，自然引起了帶隊張老師的注意。
作為省隊的總負責人，張老師對徐辰這位省賽狀元寄予了厚望，自然也對他格外關注。
集訓開始的第三天，張老師在課間休息時，把徐辰叫到了走廊上。
「徐辰同學，」張老師推了推眼鏡，語氣溫和地問道，「我看你這幾天，好像沒怎麼做我們發的集訓資料。是覺得題目太簡單了，還是遇到了什麼困難？」
「都不是。」徐辰實話實說，「資料上的知識點，我之前都已經掌握了。我現在在按照自己的節奏，預習一些後續的知識。」
張老師愣了一下。
「都已經掌握了？」他有些難以置信。那套資料，是他和幾位大學教授花費了大量心血編寫的，難度和深度都遠超省賽，就是為了讓這些省一選手能提前適應CMO的強度。
「嗯。」徐辰點了點頭。
張老師看著徐辰那雙平靜得不起一絲波瀾的眼睛，一時間竟不知道該說什麼。
他想質疑，但對方是省賽唯一的滿分。
他想提醒，但對方的自信又不像是在說謊。
最終，他只能嘆了口氣，拍了拍徐辰的肩膀：「好，我相信你有自己的學習計劃。但還是要提醒你，CMO非同小可，千萬不能掉以輕心。有什麼問題，隨時來找我。」
「好的，謝謝張老師。」
在提出了幾個問題後，徐辰都輕鬆對答，於是張老師後續也自然放鬆了對徐辰的關注。
畢竟，天才都是特殊的。不能用其他人的方式來管理天才，每個天才都有自己的方法。
徐辰，則在這段無人打擾的時間裡，享受著知識瘋狂湧入大腦的快感。
他發現，學習大學數學，對於解決那些競賽難題，有著意想不到的「降維打擊」效果。
比如，當他學到拓撲學中的「緊緻性」概念時，再回過頭去看那道「空外接圓三角形」的證明，瞬間就有了全新的思路。
【原來，常規解法里取『最短線段』和『最大角』的步驟，其本質，就是在利用平面有界閉集的緊緻性，來保證極值的存在性。如果從這個角度出發確實不失為一個好的思路……】
新知識的獲取和高強度的思考，讓系統面板上的經驗值，也在穩步增長。
二十多天下來，當集訓即將結束時，他的數學學科經驗值，已經從剛升級LV.1時的0/500，提升到了20/500。
雖然距離再次升級還很遙遠，但這種持續進步的感覺，讓他無比滿足。
……
20天的集訓很快就要過去，在集訓結束的倒數第二天，張老師宣布，將進行一次完全模擬CMO流程的測驗。
CMO的賽制是一共考兩天時間，每天8點到12點半是考試時間，每場考試三道題，兩天共六道大題。每題21分，總分126分。
「這次測驗，不計入任何最終成績，目的就是讓大家提前感受一下CMO的氛圍和壓力。」
當最終的測驗成績，被張老師用投影儀打在幕布上時，整個教室，陷入了死一般的寂靜。
第一名：徐辰。
第一場：63分（滿分）。
第二場：63分（滿分）。
總分：126分（滿分）。
而排在第二名的趙瑞，總分是120分。
斷層，鴻溝，天塹。
所有人都呆呆地看著那個刺眼的「滿分」，感覺自己的認知被徹底顛覆了。
張老師拿著成績單的手，在微微顫抖。他和其他幾位參與閱卷的老師對視了一眼，彼此的眼中，都看到了難以掩飾的狂喜和激動。
他們本以為，徐辰省賽的滿分，有運氣的成分。
他們本以為，徐辰在集訓期間的「不務正業」，是一種天才的任性。
直到此刻，他們才真正明白。
那不是運氣，也不是任性。
那是一種絕對實力下的……降維打擊！
「穩了……」
一位副手老師湊到張老師耳邊，用夢囈般的聲音說道。
「今年的CMO前三，感覺穩了。至於CMO第一，也不是不可能的事。」