第4章 我怎麼會沒想到呢？
「命題1.1：設 J:ℝ^d→ℝ是 m-強凸(m > 0)且 L-光滑(L <∞)的函數。考慮經典過阻尼 Langevin擴散： dX_t =-∇J(X_t)dt +σ dB_t， X_0 = x₀其中 B_t是標準 d-維 Brownian運動……」
這的確不是論文，沒有標題、目錄、沒有引言跟導語，格式也跟規範不沾邊，而且手機拍攝的手稿照片看起來也不太方便。
但卻讓蘇志堅看得無比認真，比看他正經學生提交的正經論文還認真。
此刻，蘇志堅的辦公室里安靜到落針可聞。
直接看到第一個結論，蘇志堅才抬頭看了眼已經坐在他對面似乎在發呆的喬源。
「……結合 b的全局 Lipschitz性，SDE有唯一強解，且由Harris定理，存在唯一不變概率測度μ_σ。
其密度由Fokker-Planck方程穩態解給出：0 =∇·[∇J(x)μ_σ(x)]+(σ²/2)Δμ_σ(x)直接驗證μ_σ(x)= Z^{-1} exp(-2J(x)/σ²)(Z是歸一化常數)是解。」
創造性的漂移項性質，擴散項選取，以及Lyapunov函數構造，利用J的強凸性和光滑性，解決了指數遍歷性問題。
蘇志堅穩了穩心神，收回目光，開始看向收斂性證明。
這一塊喬源利用的耦合方法跟泛函不等式。
「令 Z_t = X_t^x - X_t^y。則 dZ_t =-[∇J(X_t^x)-∇J(X_t^y)]dt……」
「呼……」
看完第二部分後，蘇志堅長出了口氣。
原因無他，接連兩個部分，他粗看之下竟然沒找出什麼問題。
雖然格式很糟糕，或者說看不出格式，但證明思路非常嚴謹。
除去一些證明過程被跳了過去外，當然這對浸淫這個問題許久的蘇志堅來說，絕大部分跳過的證明過程，他都能腦補上。
小部分可能需要跟喬源探討……
蘇志堅忍不住再次抬頭看了眼坐在對面的孩子，有那麼一瞬間，他開始懷疑這小子的本科生身份。
他是早就知道喬源極有數學天賦的，但打死他都沒想到這天賦能高到這個份兒上！
接下來是最重要的收斂速率共振跟共振現象顯現問題的處理了。
蘇志堅收斂了心神，再次翻動起手機圖片……
因為看得仔細，這次耗時也很長，大概半個小時後，蘇志堅終於看到了結論。
「對固定精度δ，存在最優噪聲強度σ*=\sqrt{2δ/ d}，使得達到精度δ的時間最短。共振發生！σ*隨δ減小而減小(δ→ 0⇒σ*→ 0)。」
此時的蘇志堅大腦一片空白。
只剩下一個聲音在不停的反覆質問自己：「我特麼怎麼就沒能想到可以利用熵衰減跟Bakry-Émery理論？！」
定了定心神，當蘇志堅再次抬頭看向對面那張青澀的臉，只覺得這個本科生是個妖孽……
智多近乎妖……
「這些……真是你獨立證明出來的？」
蘇志堅認真的問道。
喬源點了點頭，開口解釋道：「不過暑假我看了很多書跟網上關於一些問題講解的視頻。」
「呼……這些不重要，你先坐過來給我講講這幾處的思考路線。」
說著，蘇志堅的手飛快的開始在手機上滑動，直到找到對應的圖片。
「這裡根據前面的推論，阿爾法的平方應該小於等於O(δ/d)，因為噪聲不能太大。
但同時噪聲也不能太小，因為如果太小就會導致μ_σ過於集中，而Langevin擴散的收斂速率是依賴於阿爾法的，所以……」
就這樣一個問，一個答，很快就把整個證明過程梳理了一遍。同時也讓蘇志堅確認了，這個證明的確是喬源的成果。
畢竟數學的思考過程是沒辦法作假的。靠別人，最多只能做到知其然不知其所以然。
一時間蘇志堅突然感覺有些恍惚，他再次想到了已經仙去的導師陳院士。
他還記得當年陳院士喜歡他的原因就是因為覺得他數學方面的悟性高，有衝勁，喜歡挑戰高難度命題。
這才破例把他收入門下，並在他加入師門之後，直接告知了學校不再收研究生，他也順理成章的成了關門弟子。
但現在他突然覺得他那點悟性跟眼前這個孩子比起來一文不值。
喬源才剛剛大三啊，才上了兩年的數學專業課。這個證明過程中用到的很多定理跟數學思想，他應該還沒接觸過，許多甚至是研究生階段才開始學習的內容。
但這傢伙竟然全靠自學靈活掌握了？
這讓蘇志堅覺得他之前對喬源的評價還是太保守了。
這何止是華清、燕北隨便去？這天賦曝光出去，即便是世界公認前幾位的高校，大概都要搶的！
畢竟哪家高校不想未來能多一個菲爾茲獎得主呢？
沉默了半晌，蘇志堅才開口感慨道：「我看手機上顯示這些照片都是你上個月16號拍的，怎麼你沒早跟我說？」
喬源解釋道：「我覺得無限維太難了，所以考慮從有限維一些特殊的非光滑情形入手，未來再逐步推廣到非凸、無窮維的情況。
現在也只解決了帶l1正則這類的凸問題，我不知道有沒有用，也不知道師兄師姐們是不是早就已經攻克了這個問題……
所以我本來是打算等到有推廣到無窮維思路之後再跟你匯報跟探討的。誰知道你突然就要走了。」
蘇志堅也沉默了。
其實他之前給喬源提出這個命題的時候，只是讓這個孩子去多做思考，讓喬源能有更大的動力投入相關數學分析的學習，壓根就沒想過喬源真能做出成果。
鼓勵喬源參加每周的組會，甚至安排組會時間刻意繞開喬源的上課時間，也是不過是為了讓這孩子能提前適應研究生的氛圍。
說白了就是讓本科生提前體驗一下做學術研究到底是怎麼個事兒而已。
這也是高校優秀本科生計劃的初衷，壓根沒人指望這些本科生真能做出什麼成績來。
所以他也真沒想到喬源還真把這個命題當成了必須完成的任務。
這麼一對比，他突然覺得自己這些年在江大招收的這些研究生都是些什麼玩意兒……
甚至之前他還不能理解以前導師為什麼對他那麼好，但現在突然一下就理解了。
遇到一個能夠幫助自己研究繼承自己衣缽的學生，原來是這種感覺啊！
可惜的是，蘇志堅還沒結婚，所以還不太清楚父親對兒子是什麼感覺。
但他此刻是真的覺得喬源如果是他親兒子就好了……
這的確不是論文，沒有標題、目錄、沒有引言跟導語，格式也跟規範不沾邊，而且手機拍攝的手稿照片看起來也不太方便。
但卻讓蘇志堅看得無比認真，比看他正經學生提交的正經論文還認真。
此刻，蘇志堅的辦公室里安靜到落針可聞。
直接看到第一個結論，蘇志堅才抬頭看了眼已經坐在他對面似乎在發呆的喬源。
「……結合 b的全局 Lipschitz性，SDE有唯一強解，且由Harris定理，存在唯一不變概率測度μ_σ。
其密度由Fokker-Planck方程穩態解給出：0 =∇·[∇J(x)μ_σ(x)]+(σ²/2)Δμ_σ(x)直接驗證μ_σ(x)= Z^{-1} exp(-2J(x)/σ²)(Z是歸一化常數)是解。」
創造性的漂移項性質，擴散項選取，以及Lyapunov函數構造，利用J的強凸性和光滑性，解決了指數遍歷性問題。
蘇志堅穩了穩心神，收回目光，開始看向收斂性證明。
這一塊喬源利用的耦合方法跟泛函不等式。
「令 Z_t = X_t^x - X_t^y。則 dZ_t =-[∇J(X_t^x)-∇J(X_t^y)]dt……」
「呼……」
看完第二部分後，蘇志堅長出了口氣。
原因無他，接連兩個部分，他粗看之下竟然沒找出什麼問題。
雖然格式很糟糕，或者說看不出格式，但證明思路非常嚴謹。
除去一些證明過程被跳了過去外，當然這對浸淫這個問題許久的蘇志堅來說，絕大部分跳過的證明過程，他都能腦補上。
小部分可能需要跟喬源探討……
蘇志堅忍不住再次抬頭看了眼坐在對面的孩子，有那麼一瞬間，他開始懷疑這小子的本科生身份。
他是早就知道喬源極有數學天賦的，但打死他都沒想到這天賦能高到這個份兒上！
接下來是最重要的收斂速率共振跟共振現象顯現問題的處理了。
蘇志堅收斂了心神，再次翻動起手機圖片……
因為看得仔細，這次耗時也很長，大概半個小時後，蘇志堅終於看到了結論。
「對固定精度δ，存在最優噪聲強度σ*=\sqrt{2δ/ d}，使得達到精度δ的時間最短。共振發生！σ*隨δ減小而減小(δ→ 0⇒σ*→ 0)。」
此時的蘇志堅大腦一片空白。
只剩下一個聲音在不停的反覆質問自己：「我特麼怎麼就沒能想到可以利用熵衰減跟Bakry-Émery理論？！」
定了定心神，當蘇志堅再次抬頭看向對面那張青澀的臉，只覺得這個本科生是個妖孽……
智多近乎妖……
「這些……真是你獨立證明出來的？」
蘇志堅認真的問道。
喬源點了點頭，開口解釋道：「不過暑假我看了很多書跟網上關於一些問題講解的視頻。」
「呼……這些不重要，你先坐過來給我講講這幾處的思考路線。」
說著，蘇志堅的手飛快的開始在手機上滑動，直到找到對應的圖片。
「這裡根據前面的推論，阿爾法的平方應該小於等於O(δ/d)，因為噪聲不能太大。
但同時噪聲也不能太小，因為如果太小就會導致μ_σ過於集中，而Langevin擴散的收斂速率是依賴於阿爾法的，所以……」
就這樣一個問，一個答，很快就把整個證明過程梳理了一遍。同時也讓蘇志堅確認了，這個證明的確是喬源的成果。
畢竟數學的思考過程是沒辦法作假的。靠別人，最多只能做到知其然不知其所以然。
一時間蘇志堅突然感覺有些恍惚，他再次想到了已經仙去的導師陳院士。
他還記得當年陳院士喜歡他的原因就是因為覺得他數學方面的悟性高，有衝勁，喜歡挑戰高難度命題。
這才破例把他收入門下，並在他加入師門之後，直接告知了學校不再收研究生，他也順理成章的成了關門弟子。
但現在他突然覺得他那點悟性跟眼前這個孩子比起來一文不值。
喬源才剛剛大三啊，才上了兩年的數學專業課。這個證明過程中用到的很多定理跟數學思想，他應該還沒接觸過，許多甚至是研究生階段才開始學習的內容。
但這傢伙竟然全靠自學靈活掌握了？
這讓蘇志堅覺得他之前對喬源的評價還是太保守了。
這何止是華清、燕北隨便去？這天賦曝光出去，即便是世界公認前幾位的高校，大概都要搶的！
畢竟哪家高校不想未來能多一個菲爾茲獎得主呢？
沉默了半晌，蘇志堅才開口感慨道：「我看手機上顯示這些照片都是你上個月16號拍的，怎麼你沒早跟我說？」
喬源解釋道：「我覺得無限維太難了，所以考慮從有限維一些特殊的非光滑情形入手，未來再逐步推廣到非凸、無窮維的情況。
現在也只解決了帶l1正則這類的凸問題，我不知道有沒有用，也不知道師兄師姐們是不是早就已經攻克了這個問題……
所以我本來是打算等到有推廣到無窮維思路之後再跟你匯報跟探討的。誰知道你突然就要走了。」
蘇志堅也沉默了。
其實他之前給喬源提出這個命題的時候，只是讓這個孩子去多做思考，讓喬源能有更大的動力投入相關數學分析的學習，壓根就沒想過喬源真能做出成果。
鼓勵喬源參加每周的組會，甚至安排組會時間刻意繞開喬源的上課時間，也是不過是為了讓這孩子能提前適應研究生的氛圍。
說白了就是讓本科生提前體驗一下做學術研究到底是怎麼個事兒而已。
這也是高校優秀本科生計劃的初衷，壓根沒人指望這些本科生真能做出什麼成績來。
所以他也真沒想到喬源還真把這個命題當成了必須完成的任務。
這麼一對比，他突然覺得自己這些年在江大招收的這些研究生都是些什麼玩意兒……
甚至之前他還不能理解以前導師為什麼對他那麼好，但現在突然一下就理解了。
遇到一個能夠幫助自己研究繼承自己衣缽的學生，原來是這種感覺啊！
可惜的是，蘇志堅還沒結婚，所以還不太清楚父親對兒子是什麼感覺。
但他此刻是真的覺得喬源如果是他親兒子就好了……