第5章 講課就能升級
大腦的脹痛感來得快，去得也快。
周遠僵在原地，感覺整個世界都變得不真實。
就在幾秒鐘前，他還只是一個英語四級勉強飄過的普通大學生。
可現在……
他腦子裡隨便蹦出一個中文詞，比如「星系」，對應的「galaxy」以及各種天文相關的專業詞彙就自動浮現。
再想一個「光合作用」，」photosynthesis」和一連串複雜的生物學術語也跟著涌了出來。
這感覺太奇妙了。
就像是你的腦子突然被接上了一個雲端超級詞庫，隨時可以調用，而且還是終身VIP免流量的那種。
這系統……有點東西啊！
周遠的心臟怦怦狂跳，一股巨大的喜悅衝上頭頂，讓他差點笑出聲來。
他強行壓下激動，目光重新落回手機屏幕。
那唯一的觀眾還在。
一行新的彈幕慢悠悠地飄了上來。
潘錦：「謝謝主播！windmill，我記住了！主播人真好！」
彈幕後面還跟了個「比心」的表情。
看著這條感謝，周遠心裡那點被人打斷講解的不快早就煙消雲散了。
取而代之的，是一種奇妙的滿足感。
教人一個單詞，換來一萬個單詞的獎勵。
這買賣，血賺！
他清了清嗓子，態度瞬間熱情了不少，主動開口問道：
「不客氣不客氣。那個……同學，你還有別的問題嗎？」
周遠特意頓了一下，補充道：「數學上的問題。我這兒……主要還是講數學題的。」
他得把直播間的業務拉回正軌。
雖然教英語的獎勵很香，但萬一系統不按套路出牌，下次沒獎勵了怎麼辦？
還是老老實實做數學主播比較穩妥。
屏幕那頭沉默了幾秒。
周遠的心又提了起來，生怕自己這唯一的觀眾跑了。
終於，新的彈幕出現了。
潘錦：「有有有！主播，你能講講這套卷子的倒數第二題嗎？就是那道數列題，我們老師講了好幾遍，我還是聽不明白。」
數列題？
周遠精神一振，將試卷往自己面前拉了拉，目光落在了倒數第二題上。
【2.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N∗）】
【（1）證明：數列{an+1}是等比數列；】
【（2）求數列{an}的通項公式；】
【（3）若數列{bn}滿足bn=log2(an+1)，求數列{anbn}的前n項和Sn。】
……
周遠看著題目，嘴角控制不住地向上揚起。
這題，他太熟了。
對於還在苦海中掙扎的高三理科生來說，這道題的三個小問層層遞進，計算量和思維難度都不小，綜合性極強，絕對是五星難度的存在。
別說高三學生了，就是讓許多普通本科的大學生來做，都不一定能把第三問完整地解出來。
但對於周遠來說，這題簡直就是送分題。
他高考完那個暑假，閒著沒事幹，把自己高中三年所有的錯題和經典題型都重新整理了一遍，其中就包括對各種數列題型的歸納總結。
而眼前這道題，正是最經典、最基礎的「an+1=pan+q」類型。
這種題型，從構造法證明等比數列，到求通項，再到結合對數、裂項相消法求和，所有的套路和陷阱，他都摸得一清二楚。
簡直是刻在了DNA里。
「沒問題，這題我熟。」
周遠的聲音里充滿了自信，他拿起筆，對著攝像頭，語氣輕鬆得像是在說「今天天氣不錯」。
「同學，你看好了啊，這種題就是個紙老虎。」
「第一問，證明{an+1}是等比數列。這種題型的核心就一個字，湊！」
他一邊說，一邊在草稿紙上寫下解題步驟。
「你看，題目給了an+1 = 2an + 1，對吧？」
「咱們的目標是湊出 an+1+k = 2(an+k) 的形式。那就在等式兩邊同時加一，an+1 + 1 = 2an + 2。」
「右邊一提公因數2，不就出來了？an+1 + 1 = 2(an + 1)。」
「你看，這不就是等比數列的定義嗎？後一項是前一項的2倍。所以{an+1}是一個以 a1+1=2 為首項，公比 q=2 的等比數列。證明完畢。」
整個過程行雲流水，沒有絲毫停頓，連一分鐘都不到。
「同學，這第一問，聽懂了嗎？」周遠問道。
評論區立刻有了回應。
潘錦：「懂了懂了！臥槽！主播牛逼！這麼一講我瞬間就懂了！我們老師在黑板上推了半天，我聽得雲裡霧裡的！」
潘錦：「主播繼續繼續！求講後面兩問！」
一連串的感嘆號，足以看出屏幕那頭的激動。
周遠笑了。
被人誇獎的感覺，真爽。
尤其還是用自己擅長的東西。
「別急，後面兩問也不難。」
他刻意放慢了語速，講得更細緻了一些。
「第二問，求an的通項公式。既然我們已經證明了{an+1}是等比數列，首項是2，公比是2，那它的通項公式就是 (an+1) = 2 * 2^(n-1)，也就是 2^n。」
「所以，an = 2^n - 1。搞定。」
「至於第三問，求和Sn。這個稍微複雜一點，但也是套路。我們先把bn的表達式求出來，bn = log2(an+1) = log2(2^n) = n。」
「那麼，我們要算的數列{an*bn}，它的通項就是 n * (2^n - 1)，也就是 n*2^n - n。」
「求它的前n項和Sn，就是把這個通項從1加到n。我們可以把它拆成兩部分，一部分是求 n*2^n 的和，我們記作Tn；另一部分是求 n 的和，這個簡單，就是個等差數列求和。」
「重點是這個Tn怎麼求。n*2^n，這是一個等差數列{n}和等比數列{2^n}相乘的形式，我們用『錯位相減法』。」
周遠的聲音沉穩而清晰，每一步都講得清清楚楚，關鍵的節點還會特意停頓，加重語氣提醒。
「……最後，用Tn減去後面那部分等差數列的和，就能得到最終答案Sn了。過程我就不算了，你自己動筆算一下，同學，思路聽明白了嗎？」
幾分鐘後，周遠講完了整道題。
評論區安靜了片刻，然後，一條帶著無比崇拜情緒的彈幕飄了出來。
潘錦：「明白了！我徹底明白了！主播你簡直是神！比我們學校的特級教師講得都好！不，好一百倍！老師講的我聽著費勁，你講的我一聽就通了！主播，我粉你了！從今天起，你就是我唯一的數學之神！」
看著這條彈幕，周遠的心裡湧上一股暖流。
這是他直播間的第一個粉絲。
第一個忠實的粉絲。
……
與此同時。
安城市第一高級中學，高三（6）班的教室里。
一個扎著馬尾辮的女生猛地摘下耳機，臉上是抑制不住的興奮，她激動地推了推自己身邊的同桌。
「蓉蓉，蓉蓉！我通了！我真的通了！」
潘錦的眼睛亮得驚人。
「我的數列有救了！我感覺985在向我招手啊！」
她的同桌，一個戴著黑框眼鏡，名叫方蓉的女生，正埋頭於一張寫滿了紅色叉號的物理試卷。
聽到潘錦的話，她頭也不抬，只是冷淡地推了推眼鏡。
「又刷抖快呢？」
「潘錦，都什麼時候了，你能不能上點心？還985，你這個月的模擬考排名掉到多少了自己不清楚嗎？再這樣下去，你連一本線都懸。」
方蓉的語氣很沖，帶著一種恨鐵不成鋼的意味。
「我沒玩！」潘錦急著辯解，「我是在聽課！真的！我剛聽一個主播講數學題，講得超好！我把那道我們倆都不會的數列題給聽懂了！」
「聽課？」
方蓉終於抬起了頭，眼神里充滿了懷疑與鄙視。
「在抖快上聽課？你騙鬼呢？」
「那種地方，除了扭腰跳舞的，還有什么正經東西？潘錦，別再給你玩手機找藉口了。」
周遠僵在原地，感覺整個世界都變得不真實。
就在幾秒鐘前，他還只是一個英語四級勉強飄過的普通大學生。
可現在……
他腦子裡隨便蹦出一個中文詞，比如「星系」，對應的「galaxy」以及各種天文相關的專業詞彙就自動浮現。
再想一個「光合作用」，」photosynthesis」和一連串複雜的生物學術語也跟著涌了出來。
這感覺太奇妙了。
就像是你的腦子突然被接上了一個雲端超級詞庫，隨時可以調用，而且還是終身VIP免流量的那種。
這系統……有點東西啊！
周遠的心臟怦怦狂跳，一股巨大的喜悅衝上頭頂，讓他差點笑出聲來。
他強行壓下激動，目光重新落回手機屏幕。
那唯一的觀眾還在。
一行新的彈幕慢悠悠地飄了上來。
潘錦：「謝謝主播！windmill，我記住了！主播人真好！」
彈幕後面還跟了個「比心」的表情。
看著這條感謝，周遠心裡那點被人打斷講解的不快早就煙消雲散了。
取而代之的，是一種奇妙的滿足感。
教人一個單詞，換來一萬個單詞的獎勵。
這買賣，血賺！
他清了清嗓子，態度瞬間熱情了不少，主動開口問道：
「不客氣不客氣。那個……同學，你還有別的問題嗎？」
周遠特意頓了一下，補充道：「數學上的問題。我這兒……主要還是講數學題的。」
他得把直播間的業務拉回正軌。
雖然教英語的獎勵很香，但萬一系統不按套路出牌，下次沒獎勵了怎麼辦？
還是老老實實做數學主播比較穩妥。
屏幕那頭沉默了幾秒。
周遠的心又提了起來，生怕自己這唯一的觀眾跑了。
終於，新的彈幕出現了。
潘錦：「有有有！主播，你能講講這套卷子的倒數第二題嗎？就是那道數列題，我們老師講了好幾遍，我還是聽不明白。」
數列題？
周遠精神一振，將試卷往自己面前拉了拉，目光落在了倒數第二題上。
【2.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N∗）】
【（1）證明：數列{an+1}是等比數列；】
【（2）求數列{an}的通項公式；】
【（3）若數列{bn}滿足bn=log2(an+1)，求數列{anbn}的前n項和Sn。】
……
周遠看著題目，嘴角控制不住地向上揚起。
這題，他太熟了。
對於還在苦海中掙扎的高三理科生來說，這道題的三個小問層層遞進，計算量和思維難度都不小，綜合性極強，絕對是五星難度的存在。
別說高三學生了，就是讓許多普通本科的大學生來做，都不一定能把第三問完整地解出來。
但對於周遠來說，這題簡直就是送分題。
他高考完那個暑假，閒著沒事幹，把自己高中三年所有的錯題和經典題型都重新整理了一遍，其中就包括對各種數列題型的歸納總結。
而眼前這道題，正是最經典、最基礎的「an+1=pan+q」類型。
這種題型，從構造法證明等比數列，到求通項，再到結合對數、裂項相消法求和，所有的套路和陷阱，他都摸得一清二楚。
簡直是刻在了DNA里。
「沒問題，這題我熟。」
周遠的聲音里充滿了自信，他拿起筆，對著攝像頭，語氣輕鬆得像是在說「今天天氣不錯」。
「同學，你看好了啊，這種題就是個紙老虎。」
「第一問，證明{an+1}是等比數列。這種題型的核心就一個字，湊！」
他一邊說，一邊在草稿紙上寫下解題步驟。
「你看，題目給了an+1 = 2an + 1，對吧？」
「咱們的目標是湊出 an+1+k = 2(an+k) 的形式。那就在等式兩邊同時加一，an+1 + 1 = 2an + 2。」
「右邊一提公因數2，不就出來了？an+1 + 1 = 2(an + 1)。」
「你看，這不就是等比數列的定義嗎？後一項是前一項的2倍。所以{an+1}是一個以 a1+1=2 為首項，公比 q=2 的等比數列。證明完畢。」
整個過程行雲流水，沒有絲毫停頓，連一分鐘都不到。
「同學，這第一問，聽懂了嗎？」周遠問道。
評論區立刻有了回應。
潘錦：「懂了懂了！臥槽！主播牛逼！這麼一講我瞬間就懂了！我們老師在黑板上推了半天，我聽得雲裡霧裡的！」
潘錦：「主播繼續繼續！求講後面兩問！」
一連串的感嘆號，足以看出屏幕那頭的激動。
周遠笑了。
被人誇獎的感覺，真爽。
尤其還是用自己擅長的東西。
「別急，後面兩問也不難。」
他刻意放慢了語速，講得更細緻了一些。
「第二問，求an的通項公式。既然我們已經證明了{an+1}是等比數列，首項是2，公比是2，那它的通項公式就是 (an+1) = 2 * 2^(n-1)，也就是 2^n。」
「所以，an = 2^n - 1。搞定。」
「至於第三問，求和Sn。這個稍微複雜一點，但也是套路。我們先把bn的表達式求出來，bn = log2(an+1) = log2(2^n) = n。」
「那麼，我們要算的數列{an*bn}，它的通項就是 n * (2^n - 1)，也就是 n*2^n - n。」
「求它的前n項和Sn，就是把這個通項從1加到n。我們可以把它拆成兩部分，一部分是求 n*2^n 的和，我們記作Tn；另一部分是求 n 的和，這個簡單，就是個等差數列求和。」
「重點是這個Tn怎麼求。n*2^n，這是一個等差數列{n}和等比數列{2^n}相乘的形式，我們用『錯位相減法』。」
周遠的聲音沉穩而清晰，每一步都講得清清楚楚，關鍵的節點還會特意停頓，加重語氣提醒。
「……最後，用Tn減去後面那部分等差數列的和，就能得到最終答案Sn了。過程我就不算了，你自己動筆算一下，同學，思路聽明白了嗎？」
幾分鐘後，周遠講完了整道題。
評論區安靜了片刻，然後，一條帶著無比崇拜情緒的彈幕飄了出來。
潘錦：「明白了！我徹底明白了！主播你簡直是神！比我們學校的特級教師講得都好！不，好一百倍！老師講的我聽著費勁，你講的我一聽就通了！主播，我粉你了！從今天起，你就是我唯一的數學之神！」
看著這條彈幕，周遠的心裡湧上一股暖流。
這是他直播間的第一個粉絲。
第一個忠實的粉絲。
……
與此同時。
安城市第一高級中學，高三（6）班的教室里。
一個扎著馬尾辮的女生猛地摘下耳機，臉上是抑制不住的興奮，她激動地推了推自己身邊的同桌。
「蓉蓉，蓉蓉！我通了！我真的通了！」
潘錦的眼睛亮得驚人。
「我的數列有救了！我感覺985在向我招手啊！」
她的同桌，一個戴著黑框眼鏡，名叫方蓉的女生，正埋頭於一張寫滿了紅色叉號的物理試卷。
聽到潘錦的話，她頭也不抬，只是冷淡地推了推眼鏡。
「又刷抖快呢？」
「潘錦，都什麼時候了，你能不能上點心？還985，你這個月的模擬考排名掉到多少了自己不清楚嗎？再這樣下去，你連一本線都懸。」
方蓉的語氣很沖，帶著一種恨鐵不成鋼的意味。
「我沒玩！」潘錦急著辯解，「我是在聽課！真的！我剛聽一個主播講數學題，講得超好！我把那道我們倆都不會的數列題給聽懂了！」
「聽課？」
方蓉終於抬起了頭，眼神里充滿了懷疑與鄙視。
「在抖快上聽課？你騙鬼呢？」
「那種地方，除了扭腰跳舞的，還有什么正經東西？潘錦，別再給你玩手機找藉口了。」