第26章 無解之題？兩種答案！
完成了第一道大題，許燃沒有半分停留。
他就像一台冷酷的解題機器，目光平靜地移向了試卷的下一部分。
第二題，一道複雜的數論題，涉及同餘方程組和二次剩餘。
常規解法，需要用到繁瑣的中國剩餘定理，並且要分十幾種情況進行討論。
許燃的解法？
他在草稿紙上引入了「p-adic數」的概念，將問題轉化到p-adic數域中，利用亨澤爾引理，一步就得到了通解。
過程，三行。
第三題，一道極其刁鑽的代數不等式證明。
出題老師的本意，是考察學生對柯西不等式、排序不等式等多個知識點的綜合運用能力。
許燃卻直接在卷子上寫下「設f(x)為……構造拉格朗日函數L(x，λ)……」
他竟然直接用上了大學「分析數學」里才會學到的「拉格朗-日乘數法」，將一個不等式極值問題，轉化為了一個多元函數求偏導的簡單計算。
過程，五行。
考場內，大部分學生還在為第一題抓耳撓腮。
除了許燃，大家覺得都很忙，卻沒得出有把握的結果，不知道在忙啥！
李星宇剛剛滿頭大汗地完成了第一題的計算，正準備鬆口氣時——
許燃，已經兵不血刃地殺到了最後一題。
【第四題（解答題，40分）：】
【是否存在一個n ＞ 2024的整數，使得我們可以將一個n×n的棋盤用1×4的多米諾骨牌完全覆蓋？若存在，請給出一個構造性的例子；若不存在，請證明。】
當許燃看到這道題時，連他自己都微微挑了下眉。
「有意思。」
這是一道組合幾何與數論的交叉問題，也是這張試卷里，真正的「陷阱之王」。
它的難度，不在於計算，而在于思維的躍遷。
因為，它的標準答案，是——不存在。
這道題的設計，就是為了坑殺那些思維固化，只會埋頭構造的「刷題家」。
很多學生面對這種是否存在的問題，就已經思維固化認定肯定存在！
在錯誤的方向下了苦力，不可能得到正確的結果！
你需要跳出構造的思維定式，轉而用「染色法」來證明其「不可能性」。
這才是出題人想要看到的「天才的火花」。
顯然這種題就是篩選做題家和天才的！
然而，許燃的思維，再次跳出了出題人的預設。
「染色法麼……可以，很標準，但不夠漂亮。」
他嘴角微揚，提筆在答題紙上飛快地書寫起來。
【解法一：染色證明】
【我們將n×n的棋盤用四種顏色{1， 2， 3， 4}進行染色。令坐標為(i， j)的格子的顏色為(i 2)+ 2(j 2)+ 1。即交替染成：】
【1 3 1 3 ...】
【2 4 2 4 ...】
【1 3 1 3 ...】
【2 4 2 4 ...】
【可以發現，任何一個1×4的骨牌，無論橫放還是豎放，都必然會恰好覆蓋四種顏色各一個。】
【因此，若要完全覆蓋，則棋盤中四種顏色的格子數量必須相等。】
【但當n為奇數時，四種顏色的格子數不可能完全相等。】
【當n為偶數時……】
許燃的筆速極快，只用了不到二十分鐘，就將一個完美無瑕、邏輯嚴謹的染色法證明，寫滿了半張答題紙。
這個答案，足以讓他拿下滿分。
但他停下了筆，看了一眼自己寫下的證明，輕輕搖了搖頭。
「太普通了。」
他拿起一張新的答題紙，在上面寫下了三個大字——【解法二】。
這一次，他的思路，天馬行空，完全脫離了高中競賽的範疇。
【解法二：代數賦值法】
【我們將複數域引入棋盤。令坐標為(i， j)的格子的權值為w^(i+2j)，其中w=e^(iπ/2)=i，為四次單位根。】
【那麼，整個棋盤所有格子權值的總和S =Σ w^(i+2j)(1≤ i， j≤ n)。】
【這是一個可以利用等比數列求和公式計算的幾何級數……】
【經過計算，若且唯若n是4的倍數時，S = 0。】
【而任何一個1×4的骨牌，其覆蓋的四個格子的權值之和，恆為0。】
【因此，若要用1×4骨牌完全覆蓋棋盤，其充要條件是整個棋盤的權值總和S=0。】
【所以，只有當n是4的倍數時，才可能被完全覆蓋。】
寫完這個證明，許燃才滿意地點了點頭。
這個解法，用代數的方法，將一個看似純粹的組合問題，轉化得乾淨利落。
其背後蘊含的，是「群表示論」的思想萌芽。
這種解法如果出現在大學的組合數學課堂上，都會被教授大加讚賞。
而現在，它出現在了一張高中生的競賽答卷上。
……
「呼……呼……我日他仙人板板！」
實驗中學的大門外，胖子孫磊正急得團團轉，嘴裡不乾不淨地罵著。
「這都一個半小時了，我家燃哥怎麼還沒出來？不會是被裡面的題給難住了吧？」
王國棟老師也是一臉焦慮，緊緊握著一個保溫杯，手背上青筋畢露。
胖子閒著也是閒著，乾脆打開手機，登上了他們城關一中的校園貼吧。
【直播帖：我在龍城實驗中學門口，為我燃哥守門！】
【1L（樓主-胖爺傲視群雄）：兄弟們，現場情況非常焦灼！據我目測，裡面殺氣沖天，怨氣滾滾，估計我燃哥正在大殺四方！】
【2L（學霸愛吃回頭草）：胖子你可拉倒吧，我表哥就在裡面考試，剛才出來給我發消息說，第一題就快把他送走了，現在腦子還嗡嗡的。】
【3L（匿名用戶）：真的假的？那許燃能行嗎？】
【4L（樓主-胖爺傲視群雄）：放屁！你們懂個錘子！那叫凡人的哀嚎！對我燃哥來說，這不叫考試，這叫降臨！他不是在寫字，他是在給這幫凡夫俗子降下神諭！】
胖子的吹捧，給緊張的氣氛帶來了一絲莫名的喜感。
但誰都不知道，他那些看似誇張的胡言亂語，此刻，正在那座莊嚴的禮堂內，以一種更離譜的方式，真實上演著！
此時，距離考試結束，還有整整一個半小時。
許燃，已經完成了全部的試題。
他將兩份堪稱藝術品的答卷工工整整地放在桌角。
然後，他伸了個懶腰，調整了一個舒服的姿勢，靠在椅背上。
在全場考生或抓狂、或絕望、或奮筆疾書的背景音中，他緩緩地，閉上了眼睛。
他就像一台冷酷的解題機器，目光平靜地移向了試卷的下一部分。
第二題，一道複雜的數論題，涉及同餘方程組和二次剩餘。
常規解法，需要用到繁瑣的中國剩餘定理，並且要分十幾種情況進行討論。
許燃的解法？
他在草稿紙上引入了「p-adic數」的概念，將問題轉化到p-adic數域中，利用亨澤爾引理，一步就得到了通解。
過程，三行。
第三題，一道極其刁鑽的代數不等式證明。
出題老師的本意，是考察學生對柯西不等式、排序不等式等多個知識點的綜合運用能力。
許燃卻直接在卷子上寫下「設f(x)為……構造拉格朗日函數L(x，λ)……」
他竟然直接用上了大學「分析數學」里才會學到的「拉格朗-日乘數法」，將一個不等式極值問題，轉化為了一個多元函數求偏導的簡單計算。
過程，五行。
考場內，大部分學生還在為第一題抓耳撓腮。
除了許燃，大家覺得都很忙，卻沒得出有把握的結果，不知道在忙啥！
李星宇剛剛滿頭大汗地完成了第一題的計算，正準備鬆口氣時——
許燃，已經兵不血刃地殺到了最後一題。
【第四題（解答題，40分）：】
【是否存在一個n ＞ 2024的整數，使得我們可以將一個n×n的棋盤用1×4的多米諾骨牌完全覆蓋？若存在，請給出一個構造性的例子；若不存在，請證明。】
當許燃看到這道題時，連他自己都微微挑了下眉。
「有意思。」
這是一道組合幾何與數論的交叉問題，也是這張試卷里，真正的「陷阱之王」。
它的難度，不在於計算，而在于思維的躍遷。
因為，它的標準答案，是——不存在。
這道題的設計，就是為了坑殺那些思維固化，只會埋頭構造的「刷題家」。
很多學生面對這種是否存在的問題，就已經思維固化認定肯定存在！
在錯誤的方向下了苦力，不可能得到正確的結果！
你需要跳出構造的思維定式，轉而用「染色法」來證明其「不可能性」。
這才是出題人想要看到的「天才的火花」。
顯然這種題就是篩選做題家和天才的！
然而，許燃的思維，再次跳出了出題人的預設。
「染色法麼……可以，很標準，但不夠漂亮。」
他嘴角微揚，提筆在答題紙上飛快地書寫起來。
【解法一：染色證明】
【我們將n×n的棋盤用四種顏色{1， 2， 3， 4}進行染色。令坐標為(i， j)的格子的顏色為(i 2)+ 2(j 2)+ 1。即交替染成：】
【1 3 1 3 ...】
【2 4 2 4 ...】
【1 3 1 3 ...】
【2 4 2 4 ...】
【可以發現，任何一個1×4的骨牌，無論橫放還是豎放，都必然會恰好覆蓋四種顏色各一個。】
【因此，若要完全覆蓋，則棋盤中四種顏色的格子數量必須相等。】
【但當n為奇數時，四種顏色的格子數不可能完全相等。】
【當n為偶數時……】
許燃的筆速極快，只用了不到二十分鐘，就將一個完美無瑕、邏輯嚴謹的染色法證明，寫滿了半張答題紙。
這個答案，足以讓他拿下滿分。
但他停下了筆，看了一眼自己寫下的證明，輕輕搖了搖頭。
「太普通了。」
他拿起一張新的答題紙，在上面寫下了三個大字——【解法二】。
這一次，他的思路，天馬行空，完全脫離了高中競賽的範疇。
【解法二：代數賦值法】
【我們將複數域引入棋盤。令坐標為(i， j)的格子的權值為w^(i+2j)，其中w=e^(iπ/2)=i，為四次單位根。】
【那麼，整個棋盤所有格子權值的總和S =Σ w^(i+2j)(1≤ i， j≤ n)。】
【這是一個可以利用等比數列求和公式計算的幾何級數……】
【經過計算，若且唯若n是4的倍數時，S = 0。】
【而任何一個1×4的骨牌，其覆蓋的四個格子的權值之和，恆為0。】
【因此，若要用1×4骨牌完全覆蓋棋盤，其充要條件是整個棋盤的權值總和S=0。】
【所以，只有當n是4的倍數時，才可能被完全覆蓋。】
寫完這個證明，許燃才滿意地點了點頭。
這個解法，用代數的方法，將一個看似純粹的組合問題，轉化得乾淨利落。
其背後蘊含的，是「群表示論」的思想萌芽。
這種解法如果出現在大學的組合數學課堂上，都會被教授大加讚賞。
而現在，它出現在了一張高中生的競賽答卷上。
……
「呼……呼……我日他仙人板板！」
實驗中學的大門外，胖子孫磊正急得團團轉，嘴裡不乾不淨地罵著。
「這都一個半小時了，我家燃哥怎麼還沒出來？不會是被裡面的題給難住了吧？」
王國棟老師也是一臉焦慮，緊緊握著一個保溫杯，手背上青筋畢露。
胖子閒著也是閒著，乾脆打開手機，登上了他們城關一中的校園貼吧。
【直播帖：我在龍城實驗中學門口，為我燃哥守門！】
【1L（樓主-胖爺傲視群雄）：兄弟們，現場情況非常焦灼！據我目測，裡面殺氣沖天，怨氣滾滾，估計我燃哥正在大殺四方！】
【2L（學霸愛吃回頭草）：胖子你可拉倒吧，我表哥就在裡面考試，剛才出來給我發消息說，第一題就快把他送走了，現在腦子還嗡嗡的。】
【3L（匿名用戶）：真的假的？那許燃能行嗎？】
【4L（樓主-胖爺傲視群雄）：放屁！你們懂個錘子！那叫凡人的哀嚎！對我燃哥來說，這不叫考試，這叫降臨！他不是在寫字，他是在給這幫凡夫俗子降下神諭！】
胖子的吹捧，給緊張的氣氛帶來了一絲莫名的喜感。
但誰都不知道，他那些看似誇張的胡言亂語，此刻，正在那座莊嚴的禮堂內，以一種更離譜的方式，真實上演著！
此時，距離考試結束，還有整整一個半小時。
許燃，已經完成了全部的試題。
他將兩份堪稱藝術品的答卷工工整整地放在桌角。
然後，他伸了個懶腰，調整了一個舒服的姿勢，靠在椅背上。
在全場考生或抓狂、或絕望、或奮筆疾書的背景音中，他緩緩地，閉上了眼睛。