第30章 開掛不過是勉強追上天才
晚上放學，楚若然像往常一樣騎著電動車，載著余南汐回家。小姑娘兩隻手環在他的腰上，側臉靠在他後背，看上去異常親密。
不過這只是別人眼裡的畫面。實際上余南汐只是把楚若然當成了一個移動抱枕，坐在后座上閉著眼，呼吸輕緩地睡著了。
楚若然頗為無奈地感受著她的重量，心裡卻暗暗佩服：這小姑娘居然能在晃動的電動車上隨時睡著，還睡得這麼安心。
最關鍵的是，對人毫無防備。
……
回到家，楚若然隨手把書包扔到沙發上，轉頭看了眼身後的余南汐。小姑娘一步不落地跟在他後面，鞋子也沒換就輕車熟路地往臥室走。
「喂，小余老師，你倒是換個鞋再進去啊……」
楚若然話音還沒落，余南汐已經推開了臥室門，抱著自己的書走了進去。
「唉.....」楚若然扶額。
自從讓余南汐在這借住一晚後，她就再也沒回過自己家。每天晚上都要過來給楚若然講數學題，結束後便開始迷迷糊糊打瞌睡，最後乾脆在床上睡過去。
好在余南汐的小姨在醫院當護士，一直上夜班，對余南汐借宿這件事情並不知情。
當然，楚若然也不是沒提過讓余南汐回她自己家睡。但每次講完數學，余南汐的腦子就像斷電一樣，眼睛眯也成一條線。
唯一的動作就是往床上一趴，呼吸均勻得睡死過去。
「啪、啪、啪。」
余南汐小手拍了拍自己身邊的椅子，軟軟地眨著眼睛，示意楚若然趕緊坐過來。
「來了來了。」楚若然失笑，拉開椅子坐下。
余南汐打開厚重的高數課本，蔥白的手指翻著書頁，發出細微的響聲：「昨天講到多元函數的偏導數與全微分。」
楚若然點點頭：「嗯，公式你是推導完了，但是沒做習題。」
「唔……」余南汐輕聲應了句，從書包里抽出一本練習冊，「這裡有題。」
她用食指點著練習冊上面的一道題目：設 z = f(x，y)= x²y + 3xy²，求在點(1，2)處的全微分。
楚若然掃了一眼，忽然皺起眉：「小余老師，昨天推公式那一步我有個地方存在疑問。」
「哪裡？」
「∂z/∂x和∂z/∂y求出來後，為什麼 df =∂z/∂x dx +∂z/∂y dy？」
余南汐眨著眼睛，安安靜靜地聽完他的疑問。下一秒，她拿起筆在練習冊空白處寫下公式。
∂z/∂x = 2xy + 3y²
∂z/∂y = x²+ 6xy
「看，」她軟糯地解釋著，「偏導數表示在保持另一個變量不變時的變化率。全微分就是把x和y的變化綜合起來。」
「所以 df =(2xy + 3y²)dx +(x²+ 6xy)dy。」
「哦……是把所有微小的變化方向加起來。」楚若然若有所悟。
「嗯。」余南汐點點頭，耳邊的碎發跟著晃了晃，「這是因為全微分本質上是函數在一點處的線性近似。」
「線性近似……」楚若然喃喃著，又在心裡過了一遍公式，慢慢浮現出笑容，「小余老師，真厲害。」
余南汐歪歪頭，翻開另一頁練習冊：「再做一道。」
z = ln(x²+ y²)，求在(1，0)處的全微分。
楚若然眯起眼，低聲念著：「∂z/∂x = 2x/(x²+ y²)，在(1，0)處是2/1=2……」
「∂z/∂y呢？」
「是2y/(x²+ y²)，在(1，0)處是0。所以全微分是——」
df = 2dx + 0dy = 2dx。
楚若然寫下答案。
「唔，答對了。」
楚若然托著下巴，目光落在她發側臉上：「小余老師，教的很棒。」
「唔，是你厲害，能聽得懂。全微分講完接下來要講多元函數的偏導數連續性和可微分性。」
「講吧，我在認真聽著呢。」
余南汐指著書：「偏導數存在不代表函數在那點可微，所以要看偏導數是不是連續。」
「如果函數f在點(x₀，y₀)的偏導數存在並且在鄰域內連續，則f在(x₀，y₀)處可微。」
楚若然微微眯起眼：「所以連續的偏導數是可微的充分條件。」
「唔，對。」余南汐點點頭，軟聲解釋，「但不是必要條件。有些點偏導不連續也可能可微，一般通過偏導連續性來判斷。」
她停了停，看了看楚若然，確認他在聽。
「接下來我們要學二階偏導數。」
她翻到下一個小節，寫下公式：∂²f/∂x²，∂²f/∂y²，∂²f/∂x∂y
「有一個重要的定理是混合偏導的對稱性。」
她輕聲念著，慢慢寫下：若f的二階偏導數在點處連續，則∂²f/∂x∂y =∂²f/∂y∂x
「這個叫克萊羅定理。」
例題：f(x，y)= x²y + 3xy²，計算∂²f/∂x∂y和∂²f/∂y∂x。
「先對x求偏導，∂f/∂x = 2xy + 3y²。」
「再對y求偏導，∂²f/∂x∂y = 2x + 6y。」
「換個順序，∂f/∂y = x²+ 6xy；再對x求偏導，∂²f/∂y∂x = 2x + 6y。」
「所以∂²f/∂x∂y =∂²f/∂y∂x。」
楚若然盯著推導公式，手指敲了幾下桌面。一分鐘後他點點頭：「嗯，混合偏導相等，懂了。」
余南汐長長的睫毛輕顫，眼睛眨了眨：「明白了我繼續講二階全微分公式……」
「等一下小余老師。」楚若然開口打斷，「我能問你一個問題嗎？」
「唔？」余南汐歪了歪頭，目光澄澈地看著他。
「你當初學懂這些偏導數、全微分、克萊羅定理……大概用了多久？」
余南汐白皙的指尖放到嘴邊，輕輕蹭了蹭，軟糯地「嗯」了一聲，像是在努力回想。
「克萊羅定理……看完十幾秒就能明白了。」
楚若然：「……」
余南汐繼續認真地掰著手指頭：「像二階全微分公式，大概一分鐘左右能背下來，推導要兩分鐘。」
「還有條件極值法、拉格朗日乘數法這些，理解公式很快，但要完整推演公式過程，算清楚題目，可能要三分鐘吧。」
她說這些的時候表情非常真誠，完全不像在炫耀，只是在老實回答問題。
楚若然盯著她，表情逐漸僵硬。
她是真的在很認真的計算自己掌握這些知識時花的時間。
余南汐見他不說話，又歪了歪腦袋：「是不是很久……？」
楚若然嘴角抽了抽：「不久，不久......」
大姐，你是不是對自己學得快沒什麼概念？
我踏馬開掛都沒你學得快......
......
不過這只是別人眼裡的畫面。實際上余南汐只是把楚若然當成了一個移動抱枕，坐在后座上閉著眼，呼吸輕緩地睡著了。
楚若然頗為無奈地感受著她的重量，心裡卻暗暗佩服：這小姑娘居然能在晃動的電動車上隨時睡著，還睡得這麼安心。
最關鍵的是，對人毫無防備。
……
回到家，楚若然隨手把書包扔到沙發上，轉頭看了眼身後的余南汐。小姑娘一步不落地跟在他後面，鞋子也沒換就輕車熟路地往臥室走。
「喂，小余老師，你倒是換個鞋再進去啊……」
楚若然話音還沒落，余南汐已經推開了臥室門，抱著自己的書走了進去。
「唉.....」楚若然扶額。
自從讓余南汐在這借住一晚後，她就再也沒回過自己家。每天晚上都要過來給楚若然講數學題，結束後便開始迷迷糊糊打瞌睡，最後乾脆在床上睡過去。
好在余南汐的小姨在醫院當護士，一直上夜班，對余南汐借宿這件事情並不知情。
當然，楚若然也不是沒提過讓余南汐回她自己家睡。但每次講完數學，余南汐的腦子就像斷電一樣，眼睛眯也成一條線。
唯一的動作就是往床上一趴，呼吸均勻得睡死過去。
「啪、啪、啪。」
余南汐小手拍了拍自己身邊的椅子，軟軟地眨著眼睛，示意楚若然趕緊坐過來。
「來了來了。」楚若然失笑，拉開椅子坐下。
余南汐打開厚重的高數課本，蔥白的手指翻著書頁，發出細微的響聲：「昨天講到多元函數的偏導數與全微分。」
楚若然點點頭：「嗯，公式你是推導完了，但是沒做習題。」
「唔……」余南汐輕聲應了句，從書包里抽出一本練習冊，「這裡有題。」
她用食指點著練習冊上面的一道題目：設 z = f(x，y)= x²y + 3xy²，求在點(1，2)處的全微分。
楚若然掃了一眼，忽然皺起眉：「小余老師，昨天推公式那一步我有個地方存在疑問。」
「哪裡？」
「∂z/∂x和∂z/∂y求出來後，為什麼 df =∂z/∂x dx +∂z/∂y dy？」
余南汐眨著眼睛，安安靜靜地聽完他的疑問。下一秒，她拿起筆在練習冊空白處寫下公式。
∂z/∂x = 2xy + 3y²
∂z/∂y = x²+ 6xy
「看，」她軟糯地解釋著，「偏導數表示在保持另一個變量不變時的變化率。全微分就是把x和y的變化綜合起來。」
「所以 df =(2xy + 3y²)dx +(x²+ 6xy)dy。」
「哦……是把所有微小的變化方向加起來。」楚若然若有所悟。
「嗯。」余南汐點點頭，耳邊的碎發跟著晃了晃，「這是因為全微分本質上是函數在一點處的線性近似。」
「線性近似……」楚若然喃喃著，又在心裡過了一遍公式，慢慢浮現出笑容，「小余老師，真厲害。」
余南汐歪歪頭，翻開另一頁練習冊：「再做一道。」
z = ln(x²+ y²)，求在(1，0)處的全微分。
楚若然眯起眼，低聲念著：「∂z/∂x = 2x/(x²+ y²)，在(1，0)處是2/1=2……」
「∂z/∂y呢？」
「是2y/(x²+ y²)，在(1，0)處是0。所以全微分是——」
df = 2dx + 0dy = 2dx。
楚若然寫下答案。
「唔，答對了。」
楚若然托著下巴，目光落在她發側臉上：「小余老師，教的很棒。」
「唔，是你厲害，能聽得懂。全微分講完接下來要講多元函數的偏導數連續性和可微分性。」
「講吧，我在認真聽著呢。」
余南汐指著書：「偏導數存在不代表函數在那點可微，所以要看偏導數是不是連續。」
「如果函數f在點(x₀，y₀)的偏導數存在並且在鄰域內連續，則f在(x₀，y₀)處可微。」
楚若然微微眯起眼：「所以連續的偏導數是可微的充分條件。」
「唔，對。」余南汐點點頭，軟聲解釋，「但不是必要條件。有些點偏導不連續也可能可微，一般通過偏導連續性來判斷。」
她停了停，看了看楚若然，確認他在聽。
「接下來我們要學二階偏導數。」
她翻到下一個小節，寫下公式：∂²f/∂x²，∂²f/∂y²，∂²f/∂x∂y
「有一個重要的定理是混合偏導的對稱性。」
她輕聲念著，慢慢寫下：若f的二階偏導數在點處連續，則∂²f/∂x∂y =∂²f/∂y∂x
「這個叫克萊羅定理。」
例題：f(x，y)= x²y + 3xy²，計算∂²f/∂x∂y和∂²f/∂y∂x。
「先對x求偏導，∂f/∂x = 2xy + 3y²。」
「再對y求偏導，∂²f/∂x∂y = 2x + 6y。」
「換個順序，∂f/∂y = x²+ 6xy；再對x求偏導，∂²f/∂y∂x = 2x + 6y。」
「所以∂²f/∂x∂y =∂²f/∂y∂x。」
楚若然盯著推導公式，手指敲了幾下桌面。一分鐘後他點點頭：「嗯，混合偏導相等，懂了。」
余南汐長長的睫毛輕顫，眼睛眨了眨：「明白了我繼續講二階全微分公式……」
「等一下小余老師。」楚若然開口打斷，「我能問你一個問題嗎？」
「唔？」余南汐歪了歪頭，目光澄澈地看著他。
「你當初學懂這些偏導數、全微分、克萊羅定理……大概用了多久？」
余南汐白皙的指尖放到嘴邊，輕輕蹭了蹭，軟糯地「嗯」了一聲，像是在努力回想。
「克萊羅定理……看完十幾秒就能明白了。」
楚若然：「……」
余南汐繼續認真地掰著手指頭：「像二階全微分公式，大概一分鐘左右能背下來，推導要兩分鐘。」
「還有條件極值法、拉格朗日乘數法這些，理解公式很快，但要完整推演公式過程，算清楚題目，可能要三分鐘吧。」
她說這些的時候表情非常真誠，完全不像在炫耀，只是在老實回答問題。
楚若然盯著她，表情逐漸僵硬。
她是真的在很認真的計算自己掌握這些知識時花的時間。
余南汐見他不說話，又歪了歪腦袋：「是不是很久……？」
楚若然嘴角抽了抽：「不久，不久......」
大姐，你是不是對自己學得快沒什麼概念？
我踏馬開掛都沒你學得快......
......